Ograniczoność funkcji

Definicja
Funkcję \(f\) nazywamy ograniczoną z dołu w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigvee_{m\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad f(x)\geq m\]
Rysunek przedstawiający wykres funkcji ograniczonej z dołu.
Funkcja ograniczona z dołu
Definicja
Funkcję \(f\) nazywamy ograniczoną z góry w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigvee_{M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad f(x)\leq M\]
Rysunek przedstawiający wykres funkcji ograniczonej z góry.
Funkcja ograniczona z góry
Definicja
Funkcję \(f\) nazywamy ograniczoną w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigvee_{m,M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in A}\quad m\leq f(x)\leq M\]
Rysunek przedstawiający wykres funkcji ograniczonej.
Funkcja ograniczona
Zadanie
Na podstawie wykresu funkcji \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\)
Rysunek przedstawiający wykres funkcji f.
określ, czy jest ona ograniczona w zbiorze \(A\), jeżeli:
  1. \(A=\mathbb{R}\)
    Nie istnieją liczby \(m,M\) takie, że \(f(x)\geq m\) i \(f(x)\leq M\) dla każdego \(x\in \mathbb{R}\), więc funkcja \(f\) nie jest ograniczona w zbiorze liczb rzeczywistych.
  2. \(A=(-\infty,-2\rangle\)
    Rozważamy fragment wykresu funkcji \(f\) dla \(x\in A\).
    Rysunek przedstawiający odpowiednią część wykresu funkcji f.
    Z wykresu funkcji \(f\) można odczytać, że \(f(x)\leq 0\) dla każdego \(x\in(-\infty,-2\rangle\). Jednocześnie nie istnieje \(m\in \mathbb{R}\) takie, że \(f(x)\geq m\) dla każdego \(x\leq -2\). Zatem w przedziale \((-\infty,-2\rangle\) funkcja \(f\) jest ograniczona tylko z góry.
  3. \(A=\langle -2,0\rangle\)
    Rozważamy fragment wykresu funkcji \(f\) dla \(x\in A\).
    Rysunek przedstawiający odpowiednią część wykresu funkcji f.
    Ponieważ dla każdego \(x\in \langle -2,0\rangle\) funkcja \(f\) spełnia nierówność \(0\leq f(x)\leq 2\), zatem \(f\) jest ograniczona w przedziale \(\langle -2,0\rangle\).
  4. \(A=\langle -1, 1)\)
    Rozważamy fragment wykresu funkcji \(f\) dla \(x\in A\).
    Rysunek przedstawiający odpowiednią część wykresu funkcji f.
    Z wykresu funkcji \(f\) można odczytać, że \(f(x)\leq 2\) dla każdego \(x\in \langle -1, 1)\). Jednocześnie nie istnieje \(m\in \mathbb{R}\) takie, że \(f(x)\geq m\) dla każdego \(x\in\langle -1, 1)\). Zatem w przedziale \(\langle -1, 1)\) \(f\) jest ograniczona tylko z góry.
  5. \(A=\langle 2, \infty)\)
    Rozważamy fragment wykresu funkcji \(f\) dla \(x\in A\).
    Rysunek przedstawiający odpowiednią część wykresu funkcji f.
    Ponieważ \(f(x)\geq -1\) dla każdego \(x\in \langle 2, \infty)\), więc w przedziale \(\langle 2, \infty)\) funkcja \(f\) jest ograniczona z dołu. Jednocześnie nie jest ograniczona z góry w tym przedziale.