Kwadrat różnicy\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Kwadrat sumy\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Sześcian sumy\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
Wzór dwumianowy Newtona\[ \eqalign{ (a+b)^n ={n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + \ldots + {n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n= \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k \cr } \]

Wzór dwumianowy Newtona

Silnia

Definicja
Silnią dodatniej liczby naturalnej \(n\) nazywamy liczbę określoną wzorem \[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n \] Dodatkowo definiuje się \(0!=1\).
Przykład
Obliczymy silnię liczb naturalnych:
  • \(1!=1\)
  • \(2!=1\cdot 2\)
  • \(3!=\underbrace{1\cdot 2}_{2!}\cdot 3=2!\cdot 3 =6\)
  • \(4!=\underbrace{1\cdot 2\cdot 3}_{3!}\cdot 4=3!\cdot 4 =24\)
  • \(5!=\underbrace{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}_{4!}\cdot 5=4!\cdot 5 =120\)
Uwaga
Dla dowolnej liczby naturalnej \(n\) zachodzi \[ (n+1)!=n!\cdot (n+1) \]
Zadanie
Uprość ułamki \((n\in\mathbb{N})\):
  1. \(\displaystyle{7!\over 10!}\)
    Ponieważ \(10!=\underbrace{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}_{7!}\cdot 8\cdot 9\cdot 10=7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10\), to \[ {7!\over 10!}={\ccancel{\czerwony}{7!}\over {\ccancel{\czerwony}{7!}}\cdot8\cdot9\cdot10}={1\over 8\cdot9\cdot10}={1\over 720} \]
  2. \(\displaystyle{5!\cdot8!\over 4!\cdot6!}\)
    Ponieważ \(5!=4!\cdot 5\) oraz \(8!=4!\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\) \[ {5!\cdot8!\over 4!\cdot6!}={{\ccancel{\zielony}{4!}}\cdot5\cdot {\ccancel{\czerwony}{6!}}\cdot7\cdot8\over {\ccancel{\zielony}{4!}}\cdot{\ccancel{\czerwony}{6!}}}=5\cdot 7\cdot8= 280 \]
  3. \(\displaystyle{n!\over (n+1)!}\)
    Ponieważ z własności silni wnika, że \((n+1)!=n!\cdot (n+1)\), to mamy \[ {n!\over (n+1)!}={{\ccancel{\czerwony}{n!}}\over {\ccancel{\czerwony}{n!}}\cdot(n+1)}={1\over n+1} \]
  4. \(\displaystyle{(n+2)!\over n!}\)
    Ponieważ z własności silni wnika, że \((n+1)!=n!\cdot (n+1)\), to \[ (n+2)!=(n+1)! \cdot (n+2)=[n!\cdot(n+1)](n+2)=n!\cdot(n+1)(n+2) \] Zatem \[ {(n+2)!\over n!}= {{\ccancel{\czerwony}{n!}}\cdot(n+1)(n+2)\over {\ccancel{\czerwony}{n!}}}=(n+1)(n+2) \]
  5. \(\displaystyle{(n-2)!\over (n+2)!}\) dla \(n\ge 2\)
    Ponieważ \((n+2)!=(n-2)!\cdot (n-1)n(n+1)(n+2)\), to \[\eqalign{ {(n-2)!\over (n+2)!}& ={{\ccancel{\czerwony}{(n-2)!}}\over {\ccancel{\czerwony}{(n-2)!}}\cdot (n-1)n(n+1)(n+2)}={1\over (n-1)n(n+1)(n+2)} \cr }\]
  6. \(\displaystyle{(2n+3)!\over (2n)!}\)
    Ponieważ \((2n+3)!=(2n)!\cdot(2n+1)(2n+2)(2n+3)\), to \[ \eqalign {{(2n+3)!\over (2n)!}&={{\ccancel{\czerwony}{(2n)!}}\cdot(2n+1)(2n+2)(2n+3)\over {\ccancel{\czerwony}{(2n)!}}}=(2n+1)(2n+2)(2n+3)\cr } \]
  7. \(\displaystyle{n!-(n+1)!\over n!}\)
    Ponieważ z własności silni wnika, że \((n+1)!=n!\cdot (n+1)\), to \[ \eqalign {{n!-(n+1)!\over n!}&={n!-n!\cdot(n+1)\over n!}= {n!\cdot[1-(n+1)]\over n!}={{\ccancel{\czerwony}{n!}}\cdot(-n)\over {\ccancel{\czerwony}{n!}}}=-n\cr } \]

Symbol Newtona

Definicja
Symbolem Newtona nazywamy liczbę \({n \choose k}\) określoną za pomocą wzoru \[ {n \choose k}={n!\over k!(n-k)!}, \] gdzie \(n,k \in \mathbb{N}\cup \{0\}\) oraz \(k\leq n\).
Przykład
Obliczymy symbole Newtona, korzystając ze wzoru \(n!=(n-1)!\cdot n\) dla \(n\in\mathbb{N}\):

  • \(\displaystyle {0 \choose 0}={{\ccancel{\czerwony}{0!}}\over 0!\cdot {\ccancel{\czerwony}{0!}}}=1\)

  • \(\displaystyle {3 \choose 0}={{\ccancel{\czerwony}{3!}}\over 0!\cdot {\ccancel{\czerwony}{3!}}}=1\)

  • \(\displaystyle {4 \choose 1}={4!\over 1!\cdot 3!}={{\ccancel{\czerwony}{3!}}\cdot 4\over {\ccancel{\czerwony}{3!}}}=4\)

  • \(\displaystyle {5 \choose 1}={5!\over 1!\cdot 4!}={{\ccancel{\czerwony}{4!}}\cdot 5\over {\ccancel{\czerwony}{4!}}}=5\)

  • \(\displaystyle {5 \choose 3}={5!\over 3!\cdot 2!}={{\ccancel{\czerwony}{3!}}\cdot 4\cdot 5\over {\ccancel{\czerwony}{3!}}\cdot 2!}={4\cdot 5 \over 2}=10\)

  • \(\displaystyle {7 \choose 4}={7!\over 4!\cdot 3!}={{\ccancel{\czerwony}{4!}}\cdot 5\cdot 6\cdot 7 \over {\ccancel{\czerwony}{4!}}\cdot 6}=35\)

  • \(\displaystyle {8 \choose 7}={{\ccancel{\czerwony}{7!}}\cdot 8\over {\ccancel{\czerwony}{7!}}\cdot 1!}=8\)

  • \(\displaystyle {3 \choose 3}={{\ccancel{\czerwony}{3!}}\over {\ccancel{\czerwony}{3!}}\cdot 0!}=1\)

Z powyższego przykładu wynikają następujące własności symbolu Newtona.
Własność
Dla \(n,k \in \mathbb{N}\) oraz \( k\leq n\) mamy:

  1. \(\displaystyle{n \choose 0}=1\)

  2. \(\displaystyle{n \choose 1}=n\quad \textrm{dla} \quad n \geq 1\)

  3. \(\displaystyle{n \choose n-1}=n\quad \textrm{dla} \quad n \geq 1\)

  4. \(\displaystyle{n \choose n}=1\)

  5. \(\displaystyle{n \choose k}={n \choose n-k}\)

  6. \(\displaystyle{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\quad \textrm{dla} \quad k \neq n\)

Wzór dwumianowy Newtona i trójkąt Pascala

Twierdzenie (wzór dwumianowy Newtona)
Dla dowolnych \(a,b\in \mathbb{R}\) oraz \(n\in \mathbb{N}\) zachodzi wzór \[ \eqalign{ (a+b)^n&={n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + \ldots + {n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n= \cr &=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k \cr } \]

Trójkąt Pascala

Po ułożeniu współczynników dwumianu Newtona dla kolejnych liczb naturalnych \(n\) w postaci trójkątnej tablicy otrzymujemy trójkąt Pascala.
Kolejne wyrazy znajdujące się w \(k\)-tym wierszu są współczynnikami występującymi w rozwinięciu dwumianu Newtona \((a+b)^{k-1}\). Z własności symbolu Newtona wynika, że elementy skrajne \({n \choose 0}\) i \({n \choose n}\) w każdym wierszu są równe \(1\). Każdy inny (różny od \(1\)) element trójkąta Pascala jest sumą dwóch liczb znajdujących się bezpośrednio nad nim (z jego lewej i prawej strony). Wynika to z równości \({n\choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\) dla \(k\neq n\). Ponieważ \({n \choose k}={n \choose n-k}\), to trójkąt Pascala jest symetryczny i nie trzeba obliczać wszystkich jego elementów.

\[\matrix{ n=0& & & & & & & & & 1 & & & & & & & & &(a+b)^0\cr n=1& & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & & &(a+b)^1\cr n=2& & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & & &(a+b)^2\cr n=3& & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & & &(a+b)^3\cr n=4& & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & & &(a+b)^4\cr n=5& & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & & &(a+b)^5\cr n=6& & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & & &(a+b)^6\cr n=7& & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 & &(a+b)^7\cr \cdot\quad\cdot & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot\quad\cdot \cr } \]
Przykład
Rozwiniemy według wzoru Newtona wyrażenia:

  • \((x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

  • \((x-2)^4 = x^4-4x^3\cdot 2+6x^2\cdot 2^2-4x\cdot 2^3 +2^4= x^4-8x^3+24x^2-32x +16\)

  • \((x+1)^6 = x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2 +6x +1\)

  • \((1+x^2)^4 = 1+4x^2+6\left(x^2\right)^2+4\left(x^2\right)^3+\left(x^2\right)^4=1+4x^2+6x^4+4x^6+x^8\)

  • \((2x-5)^3 = (2x)^3-3(2x)^2\cdot 5+3\cdot 2x\cdot 5^2-5^3= 8x^3- 60x^2+150x-125\)

Ze wzoru dwumianowego Newtona wynikają następujące wzory skróconego mnożenia:

\(\qquad\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad\) (kwadrat sumy)

\(\qquad\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad\) (kwadrat różnicy)

\(\qquad\qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \qquad\) (sześcian sumy)

\(\qquad\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \qquad\) (sześcian różnicy)

Równie często stosowane są wzory:

\(\qquad\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b) \qquad\) (różnica kwadratów)

\(\qquad\qquad a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) \qquad\) (różnica sześcianów)

\(\qquad\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right) \qquad\) (suma sześcianów)

Zadanie
Sprowadź do postaci iloczynowej podane wyrażenia:
  1. \(x^2-2xy+y^2\)
    Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy dla \(a=x\), \(b=y\) i otrzymujemy \[ x^2-2xy+y^2=(x-y)^2 \]
  2. \(4+4z+z^2\)
    Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy dla \(a=2\), \(b=z\) i otrzymujemy \[ 4+4z+z^2=(2+z)^2 \]
  3. \(8+12p+6p^2+p^3\)
    Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy dla \(a=2\), \(b=p\) i otrzymujemy \[ 8+12p+6p^2+p^3=(2+p)^3 \]
  4. \(x^4-4x^3+6x^2-4x+1\)
    Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona \((a-b)^4\) dla \(a=x\), \(b=1\) i otrzymujemy \[ x^4-4x^3+6x^2-4x+1=(x-1)^4 \]
Zadanie
Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, rozłóż na czynniki podane wyrażenia:
  1. \(x^2-2x-3\)
    Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Biorąc w tym wzorze za \(a\) niewiadomą \(x\), odpowiednio dobieramy \(b\) tak, aby \(2xb=2x\), czyli bierzemy \(b=1\). Wyrażenie \((x-1)^2=x^2-2x+1\) różni się od \(x^2-2x-3\) o \(-4\), dlatego otrzymujemy \[\eqalign{x^2-2x-3 &=\left(x^2-2x+1\right)-4=(x-1)^2-4\buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over{=}\cr &\buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over{=}(x-1-2)(x-1+2)=(x-3)(x+1) \cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{*}\) korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
  2. \(x^2+4x+3\)
    Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Biorąc w tym wzorze za \(a\) niewiadomą \(x\), odpowiednio dobieramy \(b\) tak, aby \(2xb=4x\), czyli bierzemy \(b=2\). Wyrażenie \((x+2)^2=x^2+4x+4\) różni się od \(x^2+4x+3\) o \(-1\), dlatego otrzymujemy \[\eqalign{x^2+4x+3 &=\left(x^2+4x+4\right)-1=(x+2)^2-1\buildrel{\czerwony{*}}\over{=}\cr & \buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over{=}(x+2-1)(x+2+1)=(x+1)(x+3)\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{*}\) korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
  3. \(x^2+2xy-15y^2\)
    Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Biorąc w tym wzorze za \(a\) niewiadomą \(x\), odpowiednio dobieramy \(b\) tak, aby \(2xb=2xy\), czyli bierzemy \(b=y\). Wyrażenie \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) różni się od \(x^2+2xy-15y^2\) o \(-16y^2\), dlatego otrzymujemy \[\eqalign{x^2+2xy-15y^2&=\left(x^2+2xy+y^2\right)-16y^2=(x+y)^2-16y^2\buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over{=}\cr &\buildrel{\czerwony{\boldsymbol *}}\over{=}(x+y-4y)(x+y+4y)= (x-3y)(x+5y)\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
Przykład

Obliczymy jedenasty wyraz rozwinięcia dwumianu \((x^3+1)^{15} \).

Po zastosowaniu wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \[(x^3+1)^{15}=\sum_{k=0}^{15} {15 \choose k}\left(x^3\right)^{15-k}\cdot 1^k=\sum_{k=0}^{15} {15 \choose k}\left(x^3\right)^{15-k}\] Wyliczamy jedenasty wyraz tego rozwinięcia, podstawiając \(k=10 \) do wyrażenia \[{15 \choose k}\left(x^3\right)^{15-k} \] Zatem szukaną wartością jest \[{15 \choose 10}\left(x^3\right)^{15-10}={15!\over 10!\cdot 5!}\left(x^3\right)^5={10!\cdot 11\cdot12\cdot 13 \cdot14\cdot 15 \over 10!\cdot 5!}x^{15}=693x^{15}\]

Przykład

Obliczymy środkowy wyraz rozwinięcia dwumianu \(\left(\root 3 \of {2}+\root 4\of{3}\right)^{120} \).

Po zastosowaniu wzoru dwumianowego Newtona otrzymujemy \[\left(\root 3 \of {2}+\root 4\of{3}\right)^{120}=\sum_{k=0}^{120} {120 \choose k}\left(\root 3 \of {2}\right)^{120-k} \left(\root 4 \of {3}\right)^k\] Ponieważ rozwinięcie dwumianu \(\left(\root 3 \of {2}+\root 4\of{3}\right)^{120} \) posiada \(121 \) wyrazów, więc wyraz środkowy, tzn. sześćdziesiąty pierwszy, otrzymamy, podstawiając \(k=60 \) do wyrażenia \[{120 \choose k}\left(\root 3 \of {2}\right)^{120-k} \left(\root 4 \of {3}\right)^k \] Zatem szukaną wartością jest \[{120 \choose 60}\left(\root 3 \of {2}\right)^{60} \left(\root 4 \of {3}\right)^{60}={120 \choose 60}\cdot 2^{20}\cdot 3^{15}\]