Powtórka

Ogólnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych:

\(\quad\boldsymbol{\mathbb{N}}\) – zbiór liczb naturalnych; \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots \}\)

\(\quad\boldsymbol{\mathbb{Z}}\) – zbiór liczb całkowitych; \(\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}\)

\(\quad\boldsymbol{\mathbb{Q}}\) – zbiór liczb wymiernych; \(\mathbb{Q}=\left\{{p\over q}:\ p,q\in\mathbb{Z}\ \wedge \ q\neq 0\right\}\)

\(\quad\boldsymbol{\mathbb{R}}\) – zbiór liczb rzeczywistych.

\(\quad\boldsymbol{\mathbb{IQ}}\) – zbiór liczb niewymiernych; \(\mathbb{IQ}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)

Podstawowe pojęcia z zakresu rachunku zbiorów:

  • Suma zbiorów \(A\) i \(B\) to zbiór oznaczany symbolem \(A\cup B\), gdzie \[ A\cup B= \{x:\ x\in A\ \vee\ x\in B\} \]
  • Różnica zbiorów \(A\) i \(B\) to zbiór oznaczany symbolem \(A \backslash B\), gdzie \[ A \backslash B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\notin B\} \]
  • Część wspólna zbiorów \(A\) i \(B\) to zbiór oznaczany symbolem \(A\cap B\), gdzie \[ A\cap B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\in B\} \]
  • Dopełnienie zbioru \(A\) w przestrzeni \(X\) to zbiór oznaczany symbolem \(A'\), gdzie \[ A' = \{x\in X:\ x\notin A\}=X\backslash A \]
  • Iloczyn kartezjański zbiorów \(A\) i \(B\) to zbiór oznaczany symbolem \(A\times B\), gdzie \[ A\times B =\{(a,b):\ a\in A\ \wedge\ b\in B\} \]
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \[ \vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\hbox{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\hbox{dla} \quad a \lt 0 \cr} \right. \] Własności wartości bezwzględnej dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\), \(b\):
  • \(\vert a \vert \geq 0\), przy czym \(\ \vert a \vert = 0 \ \Longleftrightarrow \ a=0\)
  • \(\vert -a \vert =\vert a \vert\)
  • \(\vert a \vert =\vert b \vert\ \Longleftrightarrow \ a=b\ { \vee}\ a=-b\)
  • \(\vert a\cdot b \vert =\vert a \vert \cdot \vert b \vert\)
  • \(\vert {a\over b} \vert ={\vert a \vert \over \vert b \vert}\), o ile \(\ b\neq 0\)
  • \(\vert a+b \vert \leq \vert a \vert + \vert b \vert\)
Równoważny sposób zapisu prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną dla \(a\gt 0\):
  1. \(\vert x \vert =a \quad\Longleftrightarrow \quad x=a\ \vee\ x=-a\)
  2. \(\vert x \vert \lt a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \lt x\lt a \)
  3. \(\vert x \vert \le a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \le x\le a \)
  4. \(\vert x \vert \gt a \quad \Longleftrightarrow \quad x\lt -a\ \vee\ x\gt a\)
  5. \(\vert x \vert \ge a \quad \Longleftrightarrow \quad x\le -a\ \vee\ x\ge a\)
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) oraz \(a\lt 0\):
  • równanie \(\vert x \vert =a \) jest sprzeczne,
  • nierówność \(\vert x \vert \lt a \) jest sprzeczna,
  • nierówność \(\vert x \vert \gt a \) jest tożsamościowa.
Własności działań na potęgach i pierwiastkach dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,a,b\), gdzie \(a,b\gt 0\), oraz dla liczb naturalnych \(m,n\) większych od \(1\):

  1. \(\displaystyle a^x\cdot a^y=a^{x+y}\)

  2. \(\displaystyle{a^x\over a^y}=a^{x-y}\)

  3. \(\displaystyle\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}\)

  4. \(\displaystyle(a\cdot b)^x = a^x\cdot b^x\)

  5. \(\displaystyle\left({a\over b}\right)^x = {a^x\over b^x}\)

  6. \(\displaystyle a^{-x}={1\over a^x}\)

  1. \(\displaystyle a^{m\over n}=\root n \of {a^m}\)

  2. \(\displaystyle\root n \of {a\cdot b}=\root n \of {a} \cdot \root n \of {b}\)

  3. \(\displaystyle\root n \of {a \over b}={\root n \of {a} \over \root n \of {b} }\)

  4. \(\displaystyle\root m \of {\root n \of {a}}= \root {m\cdot n} \of {a}\)

  5. \(\displaystyle\root m \of {a^n}= (\root m \of {a})^n\)

Dla parzystej liczby naturalnej \(n\) oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi równość \[ \root n \of {a^n}=\vert a \vert \] W szczególności dla \(n=2\) mamy \[ \sqrt{a^2}=\vert a \vert \] Dla nieparzystej liczby naturalnej \(n\) oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) zachodzi równość \[ \root n \of {a^n}=a \]
Silnia liczby naturalnej \(n\) \[ n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n \] oraz że \(0!=1\). Dlatego \[ (n+1)!=n!\cdot (n+1) \] Symbol Newtona \[ {n \choose k}={n!\over k!(n-k)!}, \] gdzie \(n,k \in \mathbb{N}\) oraz \(k\leq n\).
Własności symbolu Newtona dla \(n,k \in \mathbb{N}\) oraz \( k\leq n\):

  • \(\displaystyle{n \choose 0}=1\)

  • \(\displaystyle{n \choose 1}=n\)

  • \(\displaystyle{n \choose n-1}=n\)

  • \(\displaystyle{n \choose n}=1\)

  • \(\displaystyle{n \choose k}={n \choose n-k}\)

  • \(\displaystyle{n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\quad \textrm{dla} \quad k \neq n\)

Wzór dwumianowy Newtona dla dowolnych \(a,b\in \mathbb{R}\) oraz \(n\in \mathbb{N}\) \[ \eqalign{ (a+b)^n&={n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + \ldots + {n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n= \cr &=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k \cr } \] Trójkąt Pascala \[\matrix{ n=0& & & & & & & & & 1 & & & & & & & & &(a+b)^0\cr n=1& & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & & &(a+b)^1\cr n=2& & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & & &(a+b)^2\cr n=3& & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & & &(a+b)^3\cr n=4& & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & & &(a+b)^4\cr n=5& & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & & &(a+b)^5\cr n=6& & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & & &(a+b)^6\cr n=7& & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 & &(a+b)^7\cr \cdot\quad\cdot & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot\quad\cdot \cr } \]

Wzory skróconego mnożenia:

\(\qquad\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad\) (kwadrat sumy)

\(\qquad\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad\) (kwadrat różnicy)

\(\qquad\qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \qquad\) (sześcian sumy)

\(\qquad\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \qquad\) (sześcian różnicy)

\(\qquad\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b) \qquad\) (różnica kwadratów)

\(\qquad\qquad a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) \qquad\) (różnica sześcianów)

\(\qquad\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right) \qquad\) (suma sześcianów)