Funkcją \( f: X\longrightarrow Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi \(x\in X\) dokładnie jednego elementu \(y\in Y\). Zbiór \(X\) jest dziedziną, zbiór \(Y\) przeciwdziedziną, a zbiór \[ W_f=\left\{y\in Y: \ \bigvee_{x\in D_f}\ y=f(x)\right\} \] zbiorem wartości funkcji \(f\).

Wykresem funkcji \( f: X\longrightarrow Y\) jest zbiór \[\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X \ \wedge\ y=f(x)\right\}\]

Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest każdy argument \(x_0\in D_f\), dla którego \(f(x_0)=0\), co geometrycznie oznaczą odciętą punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią \(Ox\).

Wzory funkcji, których wykresy powstają w wyniku podstawowych przekształceń geometrycznych:

• przesunięcia wykresu funkcji \(f\) o wektor \(\vec{v} = [p,q]\) \[y=f(x-p)+q\]
• odbicia symetrycznego wykresu funkcji \(y=f(x)\) względem osi \(Ox\) \[y=-f(x)\]
• odbicia symetrycznego wykresu funkcji \(y=f(x)\) względem osi \(Oy\) \[y=f(-x)\]
• odbicia symetrycznego wykresu funkcji \(y=f(x)\) względem punktu \((0,0)\) \[y=-f(-x)\]
• pozostawienia bez zmian części wykresu funkcji \(y=f(x)\), gdy \(y\geq 0\), oraz odbicia symetrycznego względem osi \(Ox\), gdy \(y\lt 0\) \[y=\vert f(x)\vert\]
• pozostawienia bez zmian części wykresu funkcji \(y=f(x)\), gdy \(x\geq 0\), oraz odbicia symetrycznego tego fragmentu względem osi \(Oy\) \[y=f(\vert x\vert)\]

Własności funkcji \( f: X\longrightarrow Y \):

• funkcja \(f\) jest parzysta, jeżeli jej wykres jest symetryczny względem osi \(Oy\), czyli gdy \[\bigwedge_{x\in X}\quad -x\in X \quad \wedge\quad \czerwony{\boldsymbol{f(-x)=f(x)}}\]
• funkcja \(f\) jest nieparzysta, jeżeli jej wykres jest symetryczny względem punktu \((0,0)\), czyli gdy \[\bigwedge_{x\in X}\quad -x\in X \quad \wedge\quad \czerwony{\boldsymbol{f(-x)=-f(x)}}\]
• funkcja \(f\) jest okresowa, jeżeli \[\bigvee_{T\gt 0}\quad \bigwedge_{x\in X}\quad x+T\in X \quad \wedge\quad \czerwony{\boldsymbol{f(x+T)=f(x)}}\]
• funkcja \(f\) jest ograniczona z dołu, jeżeli \[\bigvee_{m\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in D_f}\quad f(x)\geq m\]
• funkcja \(f\) jest ograniczona z góry, jeżeli \[\bigvee_{M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in D_f}\quad f(x)\leq M\]
• funkcja \(f\) jest ograniczona, jeżeli jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu, tzn. \[\bigvee_{m,M\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{x\in D_f}\quad m\leq f(x)\leq M\]
• funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1 <x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\]
• funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1 <x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)>f(x_2)\]
• funkcja \(f\) jest stała w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1 <x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)=f(x_2)\]
• funkcja \(f\) jest na zbiór \(Y\) (jest suriekcją), jeżeli jej wykres ma co najmniej jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in Y\).
• funkcja \(f\) jest różnowartościowa (jest iniekcją), jeżeli jej wykres ma co najwyżej jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\).
• funkcja \(f\) jest wzajemnie jednoznaczna (jest bijekcją), jeżeli jest jednocześnie suriekcją i iniekcją, tzn., jeżeli jej wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in Y\).

Złożeniem funkcji \(f: X\longrightarrow Y\) z funkcją \(g: Z\longrightarrow W\) nazywamy funkcję \(g\circ f:X\longrightarrow W\) określoną wzorem \[(g\circ f)(x)=g(f(x))\] Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję \(g\) – funkcją zewnętrzną złożenia \(g\circ f\). Dziedziną złożenia \(g\circ f\) jest zbiór \[D_{g\circ f}=D_f,\] a zbiorem wartości tego złożenia jest zbiór \[W_{g\circ f}=W_{g\vert_{W_f}}\]

Własności funkcji złożonej:

1. Monotoniczność:
   • złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą,
   • złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą,
   • złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.
2. Parzystość i nieparzystość:
   • złożenie dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą,
   • złożenie dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą,
   • złożenie funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą.
3. Złożenie funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową.

Funkcją odwrotną do funkcji wzajemnie jednoznacznej \(f: X \longrightarrow Y\) nazywamy funkcję \(f^{-1}: Y\longrightarrow X\) spełniającą warunek \[ \bigwedge_{x\in X}\quad\bigwedge_{y\in Y}\quad f^{-1}(y)=x\quad \Longleftrightarrow\quad y=f(x) \] Dziedziną funkcji \(f^{-1}\) jest zbiór wartości funkcji \(f\), a zbiorem wartości funkcji \(f^{-1}\) jest dziedzina funkcji \(f\). Wykresy funkcji odwrotnych \(f\) i \(f^{-1}\) są do siebie symetryczne względem prostej o równaniu \(y=x\).

Podstawowymi funkcjami elementarnymi są funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu) oraz operacji złożenia funkcji również są funkcjami elementarnymi.

Funkcjami nieelementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które nie są funkcjami elementarnymi.
Przykłady funkcji nieelementarnych:

• Cecha (część całkowita liczby rzeczywistej, entier), czyli wartość funkcji \(y=[x]\), która liczbie rzeczywistej \(x\) przyporządkowuje największą liczbę całkowitą nie większą od \(x\) \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad [x]=k \Longleftrightarrow k\in \mathbb{Z} \quad \wedge \quad k\leq x\lt k+1 \]
• Mantysa (część ułamkowa liczby rzeczywistej) to wartość funkcji \(y=\{x\}\) taka, że \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \{x\}=x-[x] \]
• Funkcja signum to funkcja \(\hbox{sgn}\:: \mathbb{R} \longrightarrow \{-1,0,1\}\) określona wzorem \[ \hbox{sgn}\: (x)=\cases{-1 & dla \(\ x\lt 0\) \cr 0 & dla \(\ x=0\)\cr 1 & dla \(\ x>0\)\cr} \]
• Funkcja Dirichleta to funkcja \(D : \mathbb{R}\longrightarrow \{0,1\}\) określona wzorem \[ D(x)=\cases{1 & dla \(\ x\in\mathbb{Q}\) \cr 0 & dla \(\ x\notin \mathbb{Q}\)\cr } \]