Wielomianem rzeczywistym stopnia \(n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\) nazywamy funkcję \(W: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) określoną za pomocą wzoru \[W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0,\] gdzie \(a_k \in \mathbb{R}\) dla \(0\leq k \leq n\) oraz \(a_n\not=0\). Dziedziną każdego wielomianu jest zbiór \(\mathbb{R}\).

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów wykonuje się analogicznie jak działania na wyrażeniach algebraicznych, a dzielenie wielomianów wykonuje się pisemnie tak jak dzielenie pisemne liczb całkowitych. Co więcej, wielomian \(I(x)\) jest ilorazem, a wielomian \(R(x)\) resztą z dzielenia wielomianu \(L(x)\) przez wielomian \(M(x)\), jeżeli dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) spełniony jest warunek \[ L(x) = M(x) \cdot I(x) + R(x) \] oraz stopień reszty \(R(x)\) jest mniejszy od stopnia dzielnika \(M(x)\). Jeżeli \(R(x)\equiv 0\), to mówimy, że wielomian \(L(x)\) jest podzielny przez wielomian \(M(x)\). Przy założeniu, że \(M(x)\neq 0\), można również zapisać \[ {L(x) \over M(x)} = I(x) + {R(x) \over M(x)} \] Dzielenie dowolnego wielomianu przez wielomian w postaci \(x-a\), gdzie \(a\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\) można szybko wykonać, korzystając ze schematu Hornera.

W odniesieniu do wielomianów zamiast pojęcia miejsce zerowe używamy pojęcia pierwiastek wielomianu. Liczba \(x_0\in \mathbb{R}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli \[ W(x_0)=0 \] W znalezieniu pierwiastków wielomianu pomocne jest twierdzenie Bezouta, które mówi, że liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Liczba \(x_0\) jest \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^k\) i nie jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^{k+1}\).

Każdy wielomian stopnia \(n\in N\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków rzeczywistych. Jeżeli wielomian \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] ma współczynniki całkowite, to:

• pierwiastkami całkowitymi tego wielomianu mogą być wyłącznie dzielniki wyrazu wolnego \(a_0\),
• pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogą być wyłącznie ułamki nieskracalne \(p\over q\), gdzie \(p,q\in\mathbb{Z}\) i \(q\neq 0\) oraz \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\).

Metody rozkładu wielomianu na czynniki:

• grupowania wyrazów i wyłączania przed nawias wspólnego czynnika,
• zastosowanie wzorów skróconego mnożenia,
• podstawiania i korzystania z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego,
• znajdowania pierwiastków wielomianu i dzielenia wielomianu przez odpowiedni dwumian.

Rozwiązanie równania wielomianowego stopnia większego lub równego trzy postaci \(W(x)=0\) polega na zapisaniu w postaci iloczynowej wielomianu \(W(x)\) i zamianie tego równanie na alternatywę równań wielomianowych stopnia niższego niż trzy.

Rozwiązanie nierówności wielomianowej stopnia większego lub równego trzy postaci: \[ W(x)> 0, \quad W(x)\geq 0, \quad W(x)< 0,\quad W(x)\leq 0 \] wymaga narysowania wykresu wielomianu \(W(x)\) albo stworzenia siatki znaków tego wielomianu. Rysując wykres wielomianu \(W(x)\), należy pamiętać, że:

• wykres zawsze rozpoczynamy od prawej strony osi liczbowej: ponad osią, gdy współczynnik przy najwyższej potędze tego wielomianu jest dodatni albo pod osią, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny,
• w punktach, które są parzystokrotnymi pierwiastkami, wykres odbija się od osi \(Ox,\) a w punktach, które są nieparzystokrotnymi pierwiastkami, wykres przechodzi na drugą stronę osi \(Ox.\)