Powtórka

Niech \(a\) będzie liczbą rzeczywistą taką, że \(a\in (0,1)\cup (1,\infty)\). Logarytmem przy podstawie \(a\) liczby dodatniej \(x\) nazywamy liczbę \(y\) taką, że \(a^y=x\), i oznaczamy symbolem \(\log_ax\), t.j. \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \] Logarytm \(\log_{10}x\) nazywamy logarytmem dziesiętnym i oznaczamy \(\log x\).
Jeżeli \(x,y,a,b\gt 0\) są liczbami rzeczywistymi, takimi, że \(a\neq 1\) i \(b\neq 1\), oraz \(p\in\mathbb{R}\), to zachodzą następujące własności logarytmów:

  1. \(\displaystyle \log_a1=0\)

  2. \(\displaystyle \log_aa=1\)

  3. \(\displaystyle \log_aa^p=p\)

  4. \(\displaystyle a^{\log_ax}=x\)

  5. \(\displaystyle \log_ax+\log_ay=\log_a(x\cdot y)\)

  6. \(\displaystyle \log_ax-\log_ay=\log_a{x\over y}\)

  7. \(\displaystyle \log_ax^p=p\cdot\log_ax\)

  8. \(\displaystyle \log_ax={\log_bx\over \log_ba}\)

  9. \(\displaystyle \log_ab={1 \over \log_ba}\)

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję \(f:\ \mathbb{R}_+\rightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[ f(x)=\log_a x \] Dziedziną funkcji logarytmicznej \(y=\log_a x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}_+\). Zbiorem wartości funkcji jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Miejscem zerowym jest \(x_0=1\). Funkcja logarytmiczna jest funkcją różnowartościową. Dla \(a\in(0,1)\) jest to funkcja malejąca, natomiast dla \(a\in (1,\infty)\) jest to funkcja rosnąca. Z definicji logarytmu wynika, że funkcja logarytmiczna \(y=\log_ax\) jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej \(y=a^x\). Wykresy funkcji wykładniczej \(y=a^x\) i logarytmicznej \(y=\log_a x\) są więc symetryczne względem prostej \(y=x\), jak na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej o tej samej podstawie a, gdy podstawa a jest liczbą dodatnią mniejszą niż 1.
Rysunek przedstawiający wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej o tej samej podstawie a, gdy podstawa a jest większa niż 1.
Wykresy funkcji \(y=\log_a x\) i \(y=a^x\)
Aby rozwiązać równanie logarytmiczne, należy wyznaczyć jego dziedzinę \(D\), a następnie doprowadzić je do postaci \[ \log_a f(x)=\log_a g(x),\] gdzie \(f(x)\) i \(g(x)\) oznaczają dowolne funkcje zmiennej \(x\), przyjmujące tylko wartości dodatnie oraz \(a\in (0,1)\cup (1,\infty)\). Z uwagi na różnowartościowość funkcji logarytmicznej \(y=\log_a x\), rozwiązanie równania \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\) sprowadza się do rozwiązania równania \(f(x)=g(x)\) dla \(x\in D\). Krótko mówiąc, opuszczamy logarytmy o podstawie \(a\).
Rozwiązanie nierówność logarytmicznej rozpoczynamy od wyznaczenia jej dziedziny, a następnie doprowadzamy lewą stronę do postaci \(\log_a f(x)\), a prawą stronę do postaci \(\log_a g(x)\), gdzie \(f(x)\) i \(g(x)\) oznaczają dowolne funkcje zmiennej \(x\), przyjmujące tylko wartości dodatnie. Ponieważ funkcje logarytmiczne są różnowartościowe, to podobnie jak w równaniach logarytmicznych, możemy opuścić logarytmy przy podstawie \(a\). Należy przy tym jednak uwzględnić monotoniczność funkcji \(y=\log_a x\). W przypadku gdy funkcja ta jest rosnąca \((a\gt 1)\), opuszczając logarytmy, nie zmieniamy kierunku nierówności. Jeżeli funkcja \(y=\log_a x\) jest malejąca \(({0\lt a\lt1})\), to przy opuszczaniu logarytmów należy zmienić kierunek nierówności na przeciwny. Podając rozwiązanie, musimy jeszcze uwzględnić dziedzinę nierówności.