Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
Zdefiniujemy teraz funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej \(x\). Narysujemy ich wykresy i omówimy ich podstawowe własności.
Funkcją sinus nazywamy funkcję \(\sin:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \sin x=\sin \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\sin x\)
Dziedziną funkcji \(y=\sin x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\). Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T=2\pi\). Jest też funkcją nieparzystą, ograniczoną, rosnąca w przedziałach
\(\left(-{\pi\over 2} +2k\pi, {\pi\over 2} +2k\pi\right)\), a malejącą w przedziałach \(\left({\pi\over 2} +2k\pi, {3\over 2}\pi +2k\pi\right)\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\). Miejsca zerowe funkcji sinus to \(x=k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
Funkcją cosinus nazywamy funkcję \(\cos:\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \cos x=\cos \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\cos x\)
Dziedziną funkcji \(y=\cos x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\). Cosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T=2\pi\). Jest też funkcją parzystą, ograniczoną, rosnąca w przedziałach
\(\left(\pi +2k\pi, 2\pi +2k\pi\right)\), a malejącą w przedziałach \(\left(0 +2k\pi, \pi +2k\pi\right)\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\). Miejsca zerowe funkcji cosinus to \(x={\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
Funkcją tangens nazywamy funkcję \({\mathrm{tg}\,:\: \mathbb{R}\backslash \{{\pi\over 2}+k\pi:\: k\in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}}\) określoną jako \[ \mathrm{tg}\, x=\mathrm{tg}\, \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego
\(\alpha\).
Wykres funkcji \( y=\mathrm{tg}\, x\)
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{{\pi\over 2}+k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\}\), a zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T=\pi\). Jest też funkcją nieparzystą,
a także rosnącą w przedziałach \(\left(-{\pi\over 2} +k\pi, {\pi\over 2} +k\pi\right)\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\). Miejsca zerowe funkcji tangens to \(x=k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
Funkcją cotangens nazywamy funkcję \(\mathrm{ctg}\, :\: \mathbb{R}\backslash \{k\pi: \: k\in \mathbb{Z}\} \rightarrow \mathbb{R}\) określoną jako \[ \mathrm{ctg}\, x=\mathrm{ctg}\, \alpha, \] gdzie \(x\) jest miarą łukową kąta skierowanego \(\alpha\).
Wykres funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\)
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\}\), a zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Cotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T=\pi\). Jest też funkcją nieparzystą,
malejącą w przedziałach \(\left(k\pi, \pi +k\pi\right)\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\). Miejsca zerowe funkcji cotangens to \(x={\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\).
Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak punkt po punkcie powstaje wykres funkcji sinus oraz cosinus, jeżeli rozważamy kąty skierowane \(\alpha \) należące do przedziału \(\left<0,2\pi\right>\). W lewym oknie tego apletu widoczny jest wybrany kąt (jako kąt wpisany w okrąg o promieniu \(1\)) oraz wartość wybranej funkcji trygonometrycznej tego kąta. W prawym oknie pokazane są kolejne punkty wykresu wybranej funkcji trygonometrycznej zmiennej \(x\), która odpowiada mierze łukowej kąta skierowanego \(\alpha \).
Ilustracja tworzenia wykresu funkcji sinus i cosinus
W poniższych zadaniach wykorzystamy definicje i własności funkcji trygonometrycznych oraz przedstawione w części dotyczącej funkcji okresowej twierdzenie o okresie podstawowym funkcji.
Zadanie
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\) określonej wzorem:
-
\(\displaystyle f(x)= \mathrm{tg}\, (3x-1)\)Argument funkcji tangens musi być różny od \({\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), zatem \[ D_f:\quad 3x-1\neq {\pi\over 2}+k\pi, \quad \hbox{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z} \] \[ 3x\neq 1+{\pi\over 2}+k\pi \ /:3\quad \] \[ x\neq {1\over 3}+{\pi\over 6}+k{\pi\over 3} \] Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R} \backslash \left\{{1\over 3}+{\pi\over 6}+k{\pi\over 3}:\ k\in \mathbb{Z}\right\}\).
-
\(\displaystyle f(x)= \mathrm{ctg}\, 2x\)Argument funkcji cotangens musi być różny od \(k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), zatem: \[ D_f:\quad 2x\neq k\pi, \quad \hbox{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z} \] \[ 2x\neq k\pi \ /:2 \quad \] \[ x\neq k{\pi\over 2}\qquad \] Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R} \backslash \left\{k{\pi\over 2}:\ k\in \mathbb{Z}\right\}\).
-
\(\displaystyle f(x)= \mathrm{ctg}\, x^2\)Argument funkcji cotangens musi być różny od \(k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), zatem \[ D_f:\quad x^2\neq k\pi, \quad \hbox{gdzie}\quad k\in \mathbb{Z} \] Ponieważ \(x^2\) przyjmuje tylko wartości nieujemne, dlatego zakładamy dodatkowo, że \(k\in\mathbb{N}\). Wtedy \[ x\neq \sqrt{k\pi} \quad \wedge \quad x\neq -\sqrt{k\pi} \] Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R} \backslash \left\{\sqrt{k\pi}, -\sqrt{k\pi}:\ k\in \mathbb{N}\right\}\).
Zadanie
Wyznacz okres podstawowy funkcji \(f\) określonej wzorem:
-
\(y=\sin 2x\)Zgodnie z twierdzeniem o okresie podstawowym, jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T_f\), to funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(\alpha x)\), gdzie \({\alpha >0}\), jest funkcją okresową o okresie podstawowym \[T_g={T_f\over \alpha}\] Ponieważ okres podstawowy funkcji sinus to \(2\pi\), więc okresem podstawowym funkcji \({y=\sin 2x}\) jest \[T={2\pi \over 2}=\pi\]
-
\(y=\cos 3x\)Ponieważ okres podstawowy funkcji cosinus to \(2\pi\), zatem z twierdzenia o okresie podstawowym wynika, że okresem podstawowym funkcji \(y=\cos 3x\) jest \[T={2\pi \over 3}={2\over 3}\pi\]
-
\(y=\sin {1\over 4}x\)Ponieważ okres podstawowy funkcji sinus to \(2\pi\), zatem z twierdzenia o okresie podstawowym wynika, że okresem podstawowym funkcji \(y=\sin {1\over 4}x\) jest \[T={2\pi \over {1\over 4}}=8\pi\]
-
\(y=\mathrm{ctg}\, 4x\)Ponieważ okres podstawowy funkcji cotangens to \(\pi\), zatem okresem podstawowym funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, 4x\) jest \[T={\pi \over 4}\]
-
\(y=\mathrm{tg}\, {1\over 3}x\)Ponieważ okres podstawowy funkcji tangens to \(\pi\), zatem okresem podstawowym funkcji \(y=\mathrm{tg}\, {1\over 3}x\) jest \[T={\pi \over {1\over 3}}=3\pi\]
Znamy już wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych. Wiemy też, jak zmienia się wzór funkcji w zależności od tego, jakiemu przekształceniu uległ jej wykres. Możemy zatem narysować wykresy różnych funkcji trygonometrycznych, jak w poniższym zadaniu.
Zadanie
Narysuj wykres funkcji \(f\) określonej wzorem:
-
\(\displaystyle y=2\sin x\)Zauważmy, że okres podstawowy funkcji \(y=2 \sin x\) jest taki sam jak okres podstawowy funkcji \(y=\sin x\). Różnią się jednak zbiory wartości tych funkcji. Mianowicie dla funkcji \(y=\sin x\) zbiorem wartości jest przedział \(\left<-1,1\right>\), a zbiorem wartości funkcji \(y=2 \sin x\) jest przedział \(\left<-2,2\right>\). Zatem wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{ y=2 \sin x}}\) będzie odpowiednio rozciągnięty w górę i w dół względem wykresu funkcji \(y=\sin x\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle y={1\over 2}\cos x\)Zauważmy, że okresy podstawowe funkcji \(y=\cos x\) oraz \(y={1\over 2}\cos x\) są takie same. Zbiorem wartości funkcji \(y={1\over 2}\cos x\) jest przedział \(\left<-{1\over 2},{1\over 2}\right>\). Zatem wykres funkcji \(y=\cos x\) będzie odpowiednio rozciągnięty w górę i w dół względem wykresu funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y={1\over 2}\cos x}}\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle y=\sin 2x\)Kształt wykresu funkcji \(y=\sin 2x\) jest podobny do kształtu wykresu funkcji \(y=\sin x\). Okres podstawowy \(T_1=\pi\) funkcji \(y=\sin 2x\) jest dwukrotnie mniejszy od okresu podstawowego \(T=2\pi\) funkcji \(y=\sin x\). Zatem wszystkie wartości, które osiąga funkcja \(y=\sin x\) w przedziale \(\left<0,2\pi\right>\), funkcja \(y=\sin 2x\) musi przyjąć w przedziale \(\left<0,\pi\right>\). Oznacza to, że wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y=\sin 2x}}\) jest odpowiednio gęstszy niż wykres funkcji \(y=\sin x\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle y=\cos {x\over 2}\)Zauważmy, że okres podstawowy funkcji \(y=\cos {x\over 2}\) jest dwukrotnie większy od okresu podstawowego funkcji \(y=\cos x\) i wynosi \(4\pi\). Zatem wykres funkcji \(y=\cos x\) jest odpowiednio gęstszy niż wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y=\cos {x\over 2}}}\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle y=\mathrm{tg}\, 2x\)Zauważmy, że okres podstawowy funkcji \(y=\mathrm{tg}\, 2x\) jest dwukrotnie mniejszy od okresu podstawowego funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\) i wynosi \({\pi\over 2}\). Zatem wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y=\mathrm{tg}\, 2x}}\) jest odpowiednio gęstszy niż wykres funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\), jak na poniższym rysunku.
-
\(\displaystyle y=\mathrm{ctg}\, {x\over 3}\)Zauważmy, że okres podstawowy funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, {x\over 3}\) jest trzykrotnie większy od okresu podstawowego funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) i wynosi \(3\pi\). Zatem wykres funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) jest odpowiednio gęstszy niż wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y=\mathrm{ctg}\, {x\over 3}}}\), jak na poniższym rysunku.
Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienią się wykresy funkcji trygonometrycznych: \[y=a\sin {bx},\ y=a\cos {bx},\ y=a\: \mathrm{tg}\, bx,\ y=a\: \mathrm{ctg}\, bx\] w zależności od wartości parametrów \(a\) oraz \(b\).
Ilustracja zmienności wykresów funkcji trygonometrycznych
Twierdzenie o okresie podstawowym funkcji
Jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T_f\),
to funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(\alpha x)\), gdzie \(\alpha >0\),
jest również funkcją okresową, a jej okresem podstawowym jest \[T_g={T_f\over \alpha}\]
Jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T_f\),
to funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(\alpha x)\), gdzie \(\alpha >0\),
jest również funkcją okresową, a jej okresem podstawowym jest \[T_g={T_f\over \alpha}\]