Niech \(\alpha\) będzie kątem środkowym okręgu o promieniu \(r\). Miarą łukową kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości łuku \(l\), na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu, tzn. \[{\niebieski{\alpha}} = {{\zielony{l}}\over {\czerwony{r}}}\] Jednostką miary łukowej kąta jest \(1\) radian, przy czym \[ 1^{\circ}={\pi\over 180} \ \hbox{rad}, \qquad 1 \ \hbox{rad}={180^{\circ}\over \pi} \]

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i kącie ostrym \(\alpha\), jak na poniższym rysunku.

• Sinusem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej, czyli \[ \sin \alpha ={{\czerwony{a}}\over {\zielony{c}}} \]
• Cosinusem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości przeciwprostokątnej, czyli \[ \cos \alpha ={{\niebieski{b}}\over {\zielony{c}}} \]
• Tangensem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej, czyli \[ \hbox{tg}\: \alpha ={{\czerwony{a}}\over {\niebieski{b}}} \]
• Cotangensem kąta \(\alpha\) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(\alpha\) do długości drugiej przyprostokątnej, czyli \[ \hbox{ctg}\: \alpha ={{\niebieski{b}}\over {\czerwony{a}}} \]

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów

\(\alpha\)	\(0\)	\({\pi\over 6}\)	\({\pi\over 4}\)	\({\pi\over 3}\)	\({\pi\over 2}\)	\(\pi\)	\({3\over 2}\pi\)
\(\sin\alpha\)	\(0\)	\({1\over 2}\)	\({\sqrt{2}\over 2}\)	\({\sqrt{3}\over 2}\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)
\(\cos\alpha\)	\(1\)	\({\sqrt{3}\over 2}\)	\({\sqrt{2}\over 2}\)	\({1\over 2}\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
\(\hbox{tg}\: \alpha\)	\(0\)	\({\sqrt{3}\over 3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	\(\bigtimes\)	\(0\)	\(\bigtimes\)
\(\hbox{ctg}\: \alpha\)	\(\bigtimes\)	\(\sqrt{3}\)	\(1\)	\({\sqrt{3}\over 3}\)	\(0\)	\(\bigtimes\)	\(0\)

Zasady redukcji kątów:

1. Dla kąta \(\beta\) postaci \(\pi \pm \alpha\) lub \(2\pi - \alpha\) funkcja trygonometryczna nie zmienia się przy jego redukcji do kąta \(\alpha\).
2. Dla kąta \(\beta\) postaci \({\pi\over 2} \pm \alpha\) lub \({3\over 2}\pi \pm \alpha\) funkcja trygonometryczna zmienia się na kofunkcję przy jego redukcji do kąta \(\alpha\), tzn. z sinusa przechodzi na cosinus, z tangensa na cotangens i na odwrót.
3. Znak \(+\) lub \(-\) przed funkcją trygonometryczną kąta zredukowanego \(\alpha\) zależy od znaku wartości funkcji trygonometrycznej kąta \(\beta\).

Tabela znaków wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych

\(\alpha\)	ćw. I	ćw. II	ćw. III	ćw. IV
\(\sin\alpha\)	\(+\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\(\cos\alpha\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\(\hbox{tg}\: \alpha\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)
\(\hbox{ctg}\: \alpha\)	\(+\)	\(-\)	\(+\)	\(-\)

Zapamiętanie, gdzie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości dodatnie, ułatwia wierszyk:

W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus,\(\qquad\qquad\) w trzeciej tangens i cotangens,\(\quad\!\) a w czwartej cosinus.\(\qquad\qquad\)

Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej \(x\) wyrażającej miarę łukową kąta skierowanego \(\alpha\):

1. Funkcja sinus ma dziedzinę \(D_f=\mathbb{R}\), a jej zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\). Sinus jest funkcją \(2\pi\)-okresową, nieparzystą i ograniczoną. Miejsca zerowe funkcji sinus to \(x=k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), jak na poniższym rysunku
   

   Wykres funkcji \( y=\sin x\)
2. Funkcja cosinus ma dziedzinę \(D_f=\mathbb{R}\), a jej zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\left<-1,1\right>\). Cosinus jest funkcją \(2\pi\)-okresową, parzystą i ograniczoną. Miejsca zerowe funkcji cosinus to \(x={\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), jak na poniższym rysunku.
   

   Wykres funkcji \( y=\cos x\)
3. Funkcja tangens ma dziedzinę \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{{\pi\over 2}+k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\}\), a jej zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Tangens jest funkcją \(\pi\)-okresową, nieparzystą, a jej miejsca zerowe to \(x=k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), jak na poniższym rysunku.
   

   Wykres funkcji \( y=\hbox{tg}\: x\)
4. Funkcja cotangens ma dziedzinę \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{k\pi: \ k\in \mathbb{Z}\}\), a jej zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\mathbb{R}\). Cotangens jest funkcją \(\pi\)-okresową, nieparzystą, a jej miejsca zerowe to \(x={\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(k\in \mathbb{Z}\), jak na poniższym rysunku.
   

   Wykres funkcji \(y=\hbox{ctg}\: x\)

Podstawowe tożsamości i wzory trygonometryczne:

1. \(\displaystyle \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1\) (jedynka trygonometryczna)

2. \(\displaystyle \hbox{tg}\: \alpha = {\sin \alpha \over \cos\alpha}\ \) dla \(\ \alpha \neq {\pi\over 2}+k\pi\),  gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

3. \(\displaystyle \hbox{ctg}\: \alpha = {\cos \alpha \over \sin\alpha}\ \) dla \(\ \alpha \neq k\pi\),  gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

4. \(\displaystyle \hbox{tg}\: \alpha \cdot \hbox{ctg}\: \alpha = 1\ \) dla \(\ \alpha \neq k\cdot{\pi\over 2}\),  gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

5. \(\displaystyle \sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

6. \(\displaystyle \sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)

7. \(\displaystyle \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

8. \(\displaystyle \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

9. \(\displaystyle \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha\)

10. \(\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)

11. \(\displaystyle \sin\alpha + \sin\beta=2\sin{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\)

12. \(\displaystyle \sin\alpha - \sin\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\)

13. \(\displaystyle \cos\alpha + \cos\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\)

14. \(\displaystyle \cos\alpha - \cos\beta=-2\sin{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\)

Rozwiązując równanie trygonometryczne, ustalamy jego dziedzinę, a następnie wykorzystujemy znane wzory i tożsamości trygonometryczne, aby doprowadzić je do postaci \[ f(x)=a, \] gdzie \(f\) jest funkcją trygonometryczną, \(a\in\mathbb{R}\). Jeżeli liczba \(a\) nie należy do zbioru wartości danej funkcji trygonometrycznej, to równanie jest sprzeczne. W przeciwnym wypadku, aby podać rozwiązania uporządkowanego już równania trygonometrycznego, należy ustalić, do której ćwiartki układu współrzędnych należeć powinny jego rozwiązania. Biorąc pod uwagę okresowość danej funkcji trygonometrycznej można je wówczas zapisać w odpowiedniej postaci.

Rozwiązując nierówność trygonometryczną, podobnie jak w przypadku równania trygonometrycznego, ustalamy jej dziedzinę i doprowadzamy ją do postaci \[ f(x) <a,\quad f(x)\leq a, \quad f(x)>a\quad \hbox{lub} \quad f(x)\geq a, \] gdzie \(f\) jest funkcją trygonometryczną, \(a\in\mathbb{R}\). Rozwiązania tych nierówności odczytujemy z rysunku, na którym rysujemy wykres funkcji trygonometrycznej \(y=f(x)\) oraz prostą \(y=a\), uwzględniając przy tym dziedzinę nierówności.