Powtórka
- Funkcją arcus sinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\sin\left\vert_{\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>}\right.\), dlatego \[ \arcsin :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<-{\pi
\over 2},{\pi \over 2}\right> \quad \text{oraz} \quad y=\arcsin x \ \Longleftrightarrow\ x=\sin y \]
Dziedziną funkcji \(y=\arcsin x\) jest zbiór \(D_f= \left<-1,1\right>\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right>\). Arcus sinus jest funkcją rosnącą i ograniczoną. Jest również funkcją nieparzystą, co oznacza, że \[\bigwedge_{x\in\left<-1,1\right>}\quad\arcsin(-x)=-\arcsin x\]Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=0\), jak na poniższym rysunku.
Wykres funkcji \(y=\arcsin x\)
- Funkcją arcus cosinus nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\cos\left\vert_{\left<0, \pi \right>}\right.\), dlatego \[ \arccos :\ \left<-1,1\right> \longrightarrow \left<0, \pi \right> \quad \text{oraz}\quad y=\arccos x \ \Longleftrightarrow\ x=\cos y \]
Dziedziną funkcji \(y=\arccos x\) jest zbiór \(D_f= \left<-1,1\right>\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left<0,\pi\right>\). Arcus cosinus jest funkcją malejącą i ograniczoną. Nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą. Można jednak zauważyć, że \[\bigwedge_{x\in \left<-1,1\right>}\quad\arccos (-x)=\pi-\arccos x\]
Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=1\), jak na poniższym rysunku.
Wykres funkcji \(y=\arccos x\)
- Funkcją arcus tangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{tg}\, \left\vert_{\left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right)}\right.\), dlatego \[ \mathrm{arctg}\, :\ \mathbb{R} \longrightarrow \left(-{\pi
\over 2},{\pi \over 2}\right) \quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{tg}\, y \]
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{arctg}\, x\) jest zbiór \(D_f= \mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left(-{\pi \over 2},{\pi \over 2}\right)\). Arcus tangens jest funkcją rosnącą i ograniczoną. Jest również funkcją nieparzystą, co oznacza, że \[\bigwedge_{x\in \mathbb{R}}\quad\mathrm{arctg}\, (-x)=-\mathrm{arctg}\, x\] Miejscem zerowym tej funkcji jest \(x_0=0\), jak na poniższym rysunku.
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arctg}\, x\)
- Funkcją arcus cotangens nazywamy funkcję odwrotną do funkcji \(\mathrm{ctg}\, \left\vert_{\left(0, \pi\right)}\right.\), dlatego \[ \mathrm{arcctg}\, :\ \mathbb{R} \longrightarrow \left(0, \pi\right)
\quad \text{oraz}\quad y=\mathrm{arcctg}\, x \ \Longleftrightarrow\ x=\mathrm{ctg}\, y \]
Dziedziną funkcji \(y=\mathrm{arcctg}\, x\) jest zbiór \(D_f= \mathbb{R}\), a zbiorem jej wartości jest zbiór \(W_f=\left(0,\pi\right)\). Arcus cotangens jest funkcją malejącą i ograniczoną. Nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą. Można jednak zauważyć, że
\[\bigwedge_{x\in \mathbb{R}}\quad\mathrm{arcctg}\, (-x)=\pi-\mathrm{arcctg}\, x\]
Funkcja ta nie posiada miejsc zerowych, jak na poniższym rysunku.
Wykres funkcji \(y=\mathrm{arcctg}\, x\)
Podstawowe wzory i tożsamości cyklometryczne:
-
\(\displaystyle\bigwedge\limits_{x\in \langle -1, 1\rangle}\ \sin(\arcsin x)=x\)
-
\(\displaystyle\bigwedge\limits_{x\in \langle -1, 1\rangle}\ \cos(\arccos x)=x\)
-
\(\displaystyle\ \;\: \bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}}\quad\: \text{tg}\, (\text{arctg}\, x)=x\)
-
\(\displaystyle\ \;\: \bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}}\quad\: \text{ctg}\, (\text{arcctg}\, x)=x\)
-
\(\displaystyle\bigwedge\limits_{x\in\langle -{\pi\over 2}, {\pi\over 2} \rangle}\ \:\arcsin(\sin x)=x\)
-
\(\displaystyle\ \:\bigwedge\limits_{x\in\langle 0, \pi \rangle}\quad \arccos(\cos x)=x\)
-
\(\displaystyle\bigwedge\limits_{x\in\left(-{\pi\over 2}, {\pi\over 2}\right)}\ \!\text{arctg}\, (\text{tg}\, x)=x\)
-
\(\displaystyle\ \:\bigwedge\limits_{x\in\left(0, \pi\right)}\quad \text{arcctg}\, (\text{ctg}\, x)=x\)
-
\(\displaystyle \arcsin x +\arccos x={\pi\over 2} \quad \hbox{dla} \quad x\in \langle -1, 1\rangle\)
-
\(\displaystyle \text{arctg}\, x +\text{arcctg}\, x={\pi\over 2} \quad \hbox{dla} \quad x\in \mathbb{R}\)
-
\(\displaystyle \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} \quad \hbox{dla} \quad x\in \langle -1, 1\rangle\)
-
\(\displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} \quad \hbox{dla} \quad x\in \langle -1, 1\rangle\)