Logarytm

Patrzcie dzieci, to logarytm.
On jest bardzo, bardzo stary,
Ponad trzysta lat już liczy.
Co się definicji tyczy:
Oznajmiają mądre księgi,
Że wykładnik to potęgi.
Dla przykładu: dwa do trzeciej
To jest osiem, o tym wiecie.
A ta trójka w wykładniku
Logarytmem jest wyniku,
Przy czym dwójka jest podstawą.
Świetną zawsze jest zabawą
Logarytmów używanie,
Gdyż logarytm będzie w stanie
Funkcji oraz liczb mnożenie
Zmienić w sumę. To szalenie
Może pomóc przy zawiłych
Iloczynach niezbyt miłych.
Logarytmu przyjacielem
Chciejcie zostać. Niech Wam celem
Będzie wiedzy tej zdobycie.
To opłaci się sowicie.

Komentarz

Logarytmy zostały wprowadzone przez Johna Napiera w 1614 roku jako sposób na uproszczenie obliczeń dla nawigatorów, inżynierów i geodetów. Zauważył on bowiem, że przy użyciu tablic logarytmów żmudne mnożenie i dzielenie liczb wielocyfrowych można zastąpić prostszym dodawaniem i odejmowaniem.

Obecnie używane pojęcie logarytmu pochodzi od Leonharda Eulera, który w XVIII wieku połączył je z funkcją wykładniczą: logarytm o podstawie \(a\), gdzie \(a\) jest liczbą dodatnią różną od \(1\), z liczby dodatniej \(x\) to liczba \(y\) taka, że \(a^y=x\), i oznaczany jest symbolem \(\log_ax\).
Powyższą definicję można zapisać symbolicznie \[ \bigwedge_{a\in \mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad \log_ax=y\quad \Longleftrightarrow\quad a^y=x \] Na przykład \[\log_2 8=3,\quad\rm{bo}\quad 2^3=8\] \[\log_3 81=4,\quad\hbox{bo}\quad 3^4=81\] Z definicji logarytmu wynikają m.in. wspomniane wcześniej własności:

  1. logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów o tej samej podstawie \[\displaystyle \log_a(x\cdot y)=\log_ax+\log_ay\]
  2. logarytm ilorazu jest równy różnica logarytmów o tej samej podstawie \[\displaystyle \log_a{x\over y}=\log_ax-\log_ay\]

Jeśli chcesz poznać inne własności logarytmu i funkcji logarytmicznej, zajrzyj do zakładki Funkcja logarytmiczna w sekcji Matematyka elementarna.