Zdania i spójniki logiczne

Definicja
Zdaniem w logice nazywamy wypowiedź oznajmującą i sensowną, tj. taką, której w ramach danej nauki można przypisać ocenę prawdziwości albo fałszu i tylko jedną z tych dwóch ocen.
Ocenę prawdziwości oznaczamy cyfrą \(1\), ocenę fałszu cyfrą \(0\).
Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu, np. \(p\), \(q\), \(r\).
Przykład

Na przykład zdanie \(\sqrt{2}\ \) jest liczbą dodatnią jest zdaniem prawdziwym. Natomiast zdanie \(\sqrt{2}\ \) jest liczbą ujemną jest zdaniem fałszywym.

Jednak nie wszystkie wypowiedzi oznajmujące są zdaniami z punktu widzenia logiki, na przykład zdanie \(\sqrt{2}\ \) jest małą liczbą nie jest (w ramach arytmetyki) ani fałszywe, ani prawdziwe, dlatego nie jest zdaniem w logice. Także o zdaniu Liczba \(x\) jest liczbą dodatnią nie da się powiedzieć, czy jest prawdziwe, dopóki nie wiemy, jaką liczbą jest \(x\).

Zadanie
Które z poniższych zdań są zdaniami w logice:
  1. Kraków jest stolicą Polski.
  2. Czy świeci słońce?
  3. Mount Everest to najwyższa góra świata.
  4. Proszę zamknąć drzwi!
Zdaniami w logice są zdania z podpunktów a i c, ponieważ są to zdania oznajmujące i można określić, czy są zdaniami prawdziwymi (jak zdanie z podpunktu c), czy fałszywymi (jak zdanie z podpunktu a). Natomiast zdania z podpunktów b i d nie są zdaniami w logice, ponieważ nie są zdaniami oznajmującymi.
Zadanie
Które z poniższych zdań są zdaniami w logice:
  1. 7 jest podzielne przez 2.
  2. \(x\) jest liczbą podzielną przez 3.
  3. \(x^2<1\)
  4. \({1\over 2}<1\)
  5. \(\sqrt{1+x^2}>0\)
  6. \(\sqrt{1+9}>0\)
  7. \(x^2\in\mathbb{N}\)
  8. \(\sqrt{3}\in\mathbb{N}\)
Zdaniami w logice są zdania z podpunktów a, d, f i h, ponieważ są to zdania oznajmujące i można określić, czy są prawdziwe (jak zdania z podpunktów d i f), czy fałszywe (jak zdania z podpunktów a i h). Natomiast zdania z podpunktów b, c, e i g nie są zdaniami w logice, ponieważ zawierają nieznane wyrażenie \(x\) i nie można określić ich prawdziwości ani fałszywości.
Definicja
Literę, która może oznaczać dowolne zdanie (z zakresu danej nauki), nazywamy zmienną zdaniową.

Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone, korzystając ze spójników zdaniotwórczych.

Definicja
Spójniki logiczne (funktory) to:
  1. nie (\(\sim \))
  2. lub (\(\vee \))
  3. i (\(\wedge \))
  4. implikuje (\(\Longrightarrow \))
  5. jest równoważne (\(\Longleftrightarrow\)).

Omówimy kolejno każdy z powyższych spójników.

Negacja zdania

Definicja
Zaprzeczeniem (negacją) zdania \(p\) nazywamy zdanie \(\sim\! p\), co czytamy: nieprawda, że \(p\).
Wartości logiczne negacji znajdują są w tabelce.
\( p\) \( \sim p\)
1 0
0 1
Uwaga
Z tabelki wynika, że wystarczy zapamiętać tylko jedną własność.
Negacja zdania jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie jest prawdziwe.
Zadanie
Podaj zaprzeczenia następujących zdań logicznych:
  1. \(3+6=9\)
    Zaprzeczeniem zdania \(3+6=9\) jest zdanie \[3+6\neq 9\]
  2. \(x>3\)
    Zaprzeczeniem zdania \(x>3\) jest zdanie \[x\leq 3\]
  3. \(y\geq -1\)
    Zaprzeczeniem zdania \(y\geq -1\) jest zdanie \[y< -1\]
  4. Liczba \(\sin{\pi\over3}\) jest liczbą wymierną.
    Zaprzeczeniem podanego zdania jest zdanie Liczba \(\sin{\pi\over3}\) nie jest liczbą wymierną.
  5. Liczba \(\sqrt{-1}\) jest liczbą rzeczywistą.
    Zaprzeczeniem podanego zdania jest zdanie Liczba \(\sqrt{-1}\) nie jest liczbą rzeczywistą.

Alternatywa zdań

Definicja
Alternatywą (sumą logiczną) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \vee}\: q\), co czytamy: \(p\) lub \(q\). Wartości logiczne alternatywy znajdują się w tabelce.
\( p\) \( q\) \( p\; { \vee}\: q\)
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Uwaga
Z tabelki wynika, że wystarczy zapamiętać tylko jedną własność.
Alternatywa jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa jej składniki są fałszywe.
Zadanie
Podaj wartości logiczne zdań składowych alternatywy i wartość logiczną całej alternatywy:
  1. Warszawa jest stolicą Polski lub Wisła przepływa przez Szczecin.
    Zdanie Warszawa jest stolicą Polski jest zdaniem prawdziwym, natomiast zdanie Wisła przepływa przez Szczecin jest fałszywe. Zatem alternatywa tych zdań jest zdaniem prawdziwym.
  2. \(2\lt 8\ \vee \ 4\ge 1\)
    Ponieważ oba zdania tworzące alternatywę są prawdziwe, dlatego alternatywa tych zdań jest zdaniem prawdziwym.
  3. \(2\) jest podzielne przez \(6\) lub \(\sqrt{2}\) jest liczbą naturalną.
    Ponieważ oba zdania tworzące alternatywę są fałszywe, dlatego alternatywa tych zdań jest zdaniem fałszywym.

Koniunkcja zdań

Definicja
Koniunkcją (iloczynem logicznym) zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\:{ \wedge}\: q\), co czytamy: \(p\) i \(q\). Wartości logiczne koniunkcji znajdują się w tabelce.
\( p\) \( q\) \( p\;{ \wedge}\; q\)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Uwaga
Z tabelki wynika, że wystarczy zapamiętać tylko jedną własność.
Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa jej składniki są prawdziwe.
Zadanie
Podaj wartości logiczne zdań składowych koniunkcji i wartość logiczną całej koniunkcji:
  1. Ziemia krąży wokół Słońca i \(0>1\)
    Zdanie Ziemia krąży wokół Słońca jest zdaniem prawdziwym, natomiast zdanie \(0>1\) jest fałszywe. Zatem koniunkcja tych zdań jest zdaniem fałszywym.
  2. Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe i 6 dzieli się przez 2.
    Ponieważ oba zdania tworzące koniunkcję są prawdziwe, dlatego koniunkcja tych zdań jest zdaniem prawdziwym.
  3. \(2\) jest podzielne przez \(6\) i \(\sqrt{2}\) jest liczbą naturalną
    Ponieważ oba zdania tworzące alternatywę są fałszywe, dlatego koniunkcja tych zdań jest zdaniem fałszywym.

Implikacja zdań

Definicja
Implikacją zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\Rightarrow q\), co czytamy: \(p\) implikuje \(q\). Zdanie \(p\) nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie \(q\) jej następnikiem. Wartości logiczne implikacji znajdują się w tabelce.
\( p\) \( q\) \( p\;\Rightarrow\; q\)
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Uwaga
Z tabelki wynika, że wystarczy zapamiętać tylko jedną własność.
Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz.
Zadanie 1.6
Podaj wartość logiczną poprzednika, następnika i implikacji zdań:
  1. \(3\lt 4 \ \Longrightarrow \ 5\lt 10\)
    Zarówno poprzednik (\(3\lt 4\)), jak i następnik (\(5 \lt 10\)) są zdaniami prawdziwymi, dlatego powyższa implikacja jest zdaniem prawdziwym.
  2. Jeżeli Kraków leży nad Wisłą, to Kraków jest stolicą Polski.
    Poprzednik Kraków leży nad Wisłą jest zdaniem prawdziwym, natomiast następnik Kraków jest stolicą Polski jest fałszywy. Zatem implikacja jest fałszywa.
  3. Jeżeli \(\sqrt{2}\) jest liczbą naturalną, to \(3\) jest podzielne przez \(8\).
    Zarówno poprzednik, jak i następnik są zdaniami fałszywymi, zatem implikacja jest prawdziwa.
  4. Jeżeli \(\sqrt{2}\) jest liczbą naturalną, to \(3^2=9\).
    Poprzednik jest zdaniem fałszywym, a następnik jest zdaniem prawdziwym, zatem implikacja jest prawdziwa.

Równoważność zdań

Definicja
Równoważnością zdań \(p\) i \(q\) nazywamy zdanie \(p\Longleftrightarrow q\), co czytamy: \(p\) jest równoważne \(q\). Wartości logiczne równoważności znajdują się w tabelce.
\( p\) \( q\) \( p\;\Longleftrightarrow\; q\)
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Uwaga
Z tabelki wynika, że wystarczy zapamiętać tylko jedną własność.
Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy obydwa jej składniki mają tę samą wartość logiczną.
Zadanie
Podaj wartości logiczne zdań składowych równoważności i wartość logiczną całej równoważności:
  1. Zakopane leży w Tatrach wtedy i tylko wtedy, gdy Gdańsk leży nad Morzem Bałtyckim.
    Oba składniki równoważności są zdaniami prawdziwymi, dlatego powyższa równoważność też jest zdaniem prawdziwym.
  2. \(\sqrt{2}\) jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy \(3\lt 2\).
    Oba składniki równoważności są fałszywe, dlatego powyższa równoważność jest zdaniem prawdziwym.
  3. \(6\) jest podzielne przez \(2\) wtedy i tylko wtedy, gdy równanie \(x^2+1=0\) ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.
    Zdanie \(6\) jest podzielne przez \(2\) jest zdaniem prawdziwym. Nie istnieje jednak liczba rzeczywista spełniająca równanie \(x^2+1=0\), zatem zdanie równanie \(x^2+1=0\) ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych jest fałszywe, co oznacza, że równoważność jest fałszywa.