Zaprzeczenie alternatywy
Poniżej znajdują się przykłady zastosowania prawa zaprzeczenia alternatywy \[{\czerwony{\boldsymbol\sim}} ({\niebieski{\boldsymbol p}}\:{ \vee}\: {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow \big[({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\:
{\niebieski{\boldsymbol p}} )\:{ \wedge}\: ({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}})\big]\]
Przykład
Rozważmy wielomian \[ W(x)=x^2-3x+2 \] Wiemy, że \(W(x)=0\) dla \[x=1 \ \vee \ x=2 \] Powyższe zdanie to alternatywa \({\niebieski{\boldsymbol p}}\:{ \vee}\: {\zielony{\boldsymbol q}}\), gdzie: \[\eqalign{{\niebieski{\boldsymbol p}}:&\quad x=1\cr {\zielony{\boldsymbol q}}:&\quad x=2\phantom{\frac{1}{2}}\cr}\]
Wykorzystamy prawo zaprzeczenia alternatywy \({\czerwony{\boldsymbol\sim}} ({\niebieski{\boldsymbol p}}\:{ \vee}\: {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow \big[({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\niebieski{\boldsymbol p}} )\:{ \wedge}\:
({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}})\big]\), aby wyznaczyć zbiór tych \(x\in \mathbb{R}\), dla których \(W(x)\neq0\). Musimy więc zaprzeczyć składnikom alternatywy: \[\eqalign{{\czerwony{\boldsymbol\sim}}\:
{\niebieski{\boldsymbol p}}:&\quad x\:{\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 1\cr {\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}}:&\quad x\:{\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 2 \phantom{\frac{1}{2}}\cr}\] Zatem zaprzeczeniem zdania \[
x=1 \ \vee \ x=2 \] jest zdanie \[ x\:{\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 1 \ \wedge \ x\:{\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 2, \] dlatego \(W(x)\neq 0\) dla \(x\in\mathbb{R}\backslash\{1,2\}\).
Zadanie
Podaj zaprzeczenie alternatywy:
-
Wieloryb nie jest ssakiem lub niedźwiedzie polarne żyją na Antarktydzie.Z prawa zaprzeczenia alternatywy wynika, że zaprzeczeniem zdania \(p\:{ \vee}\: q\) jest zdanie \(\sim p \ \:{ \wedge}\: \sim q\). Zatem zaprzeczeniem danego zdania jest Wieloryb jest ssakiem i niedźwiedzie polarne nie żyją na Antarktydzie.
-
\(x=4\ \vee\ x=5\)Z prawa zaprzeczenia alternatywy wynika, że zaprzeczeniem zdania \(p\:{ \vee}\: q\) jest zdanie \(\sim p \ \:{ \wedge}\: \sim q\). Zatem zaprzeczeniem danego zdania jest \[ x\neq 4 \ \wedge\ x\neq 5 \]
-
Punkt \(B\) jest środkiem okręgu \(K\) lub \(B\) leży na prostej \(l\).Z prawa zaprzeczenia alternatywy wynika, że zaprzeczeniem danego zdania jest zdanie Punkt \(B\) nie jest środkiem okręgu \(K\) i nie leży na prostej \(l\).