Prawo kontrapozycji
\[p\Rightarrow q \Longleftrightarrow (\sim q \Rightarrow \:\sim p)\]
Twierdzenia i formy zdaniowe
Bardzo ważną rolę w matematyce odgrywają twierdzenia, np. twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie Bezouta lub twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym w okrąg. Aby prawidłowo wyciągać wnioski z treści twierdzenia, omówimy dokładnie ich budowę i dowiemy się, co oznaczają określenia: założenie i teza twierdzenia, twierdzenie odwrotne oraz warunek konieczny i wystarczający.
Twierdzenia w logice
Twierdzeniem nazywamy zdanie mające postać implikacji \[ Z \Rightarrow T \] Poprzednik implikacji \(Z\) nazywamy założeniem, następnik \(T\) – tezą twierdzenia.
Twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia \(Z \Rightarrow T\) jest twierdzenie \[ T \Rightarrow Z \]
Uwaga
Zgodnie z prawem kontrapozycji twierdzenie \[ Z \Rightarrow T \] jest równoważne z twierdzeniem \[ \sim T \Rightarrow \;\sim Z \]
Przykład
Dane jest twierdzenie
Jeżeli liczba \(p\) jest podzielna przez \(6\), to \(3\) dzieli \(p\).
Zgodnie z prawem kontrapozycji jest ono równoważne z twierdzeniem
Jeżeli liczba \(p\) nie jest podzielna przez \(3\), to \(6\) nie dzieli \(p\).
Twierdzeniem odwrotnym do niego jest twierdzenie
Jeżeli liczba \(p\) jest podzielna przez \(3\), to \(6\) dzieli \(p\).
Często mówi się, że jakieś twierdzenie podaje warunek konieczny albo wystarczający dla pewnej własności. Wyjaśnimy, co to dokładnie oznacza.
Jeżeli ze zdania \(p\) wynika zdanie \(q\) (\(p\Rightarrow q\)), to mówimy, że \(p\) jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla \(q\), a \(q\) jest warunkiem koniecznym dla \(p\).
Jeżeli zdanie \(p\) jest równoważne ze zdaniem \(q\) (\(p\Leftrightarrow q\)), to mówimy, że \(p\) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla \(q\).
Przykład
Rozważmy twierdzenie
Jeżeli liczba jest podzielna przez \(6\), to jest ona podzielna przez \(3\).
Z powyższego zdania wynika, że podzielność przez \(6\) jest warunkiem wystarczającym podzielności przez \(3\), ponieważ każda liczba podzielna przez \(6\) jest podzielna przez \(3\).Natomiast podzielność przez \(3\) jest warunkiem koniecznym podzielności przez \(6\). Oznacza to, że liczb podzielnych przez \(6\) możemy szukać tylko wśród liczb podzielnych przez \(3\). Oczywiście nie każda liczba podzielna przez \(3\) jest podzielna przez \(6\) (na przykład liczba \(9\)). Dlatego podzielność przez \(3\) nie jest warunkiem wystarczającym podzielności przez \(6\).
Formy zdaniowe
W logice oprócz zdań występują także formy zdaniowe. Poznamy ich definicję i rodzaje.
Formą zdaniową określoną w zbiorze \(X\) nazywamy wyrażenie \(\varphi (x)\), które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej \(x\) wstawimy dowolny element ze zbioru \(X\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną formy zdaniowej. Mówimy, że element należący do dziedziny spełnia formę zdaniową, jeżeli podstawiony do niej daje zdanie prawdziwe.
Uwaga
Równania i nierówności są formami zdaniowymi.
Przykład
Równanie \(\sqrt{x}=2\) jest formą zdaniową określoną w zbiorze \(\mathbb{R}_+\cup\{0\}\). Jeżeli za \(x\) wstawimy liczbę \(4\), to staje się ona zdaniem prawdziwym \(\sqrt{4}=2\). Jeżeli za \(x\) wstawimy liczbę \(5\), otrzymujemy zdanie fałszywe \(\sqrt{5}=2\).
Formy zdaniowe mogą być tożsamościowe lub sprzeczne w zależności od tego, czy spełniają je wszystkie elementy z dziedziny danej formy oraz czy w ogóle istnieją w dziedzinie elementy, które tę formę spełniają.
Formę zdaniową nazywamy tożsamościową, jeżeli spełnia ją każdy element jej dziedziny.
Formę zdaniową nazywamy sprzeczną, jeżeli nie spełnia jej żaden element dziedziny tej formy.
Przykład
Forma zdaniowa \[ x^2+1>0 \] jest formą tożsamościową w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ każda liczba rzeczywista spełnia tę formę, natomiast forma zdaniowa \[ x^2<-4 \] jest formą zdaniową sprzeczną w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ żadna liczba z tego zbioru nie spełnia tej formy.
Zadanie
Sprawdź, czy forma zdaniowa \(\varphi (x)\) określona w zbiorze \(X\) jest tożsamościowa lub sprzeczna, jeżeli:
-
\(\displaystyle \varphi (x): x\) jest owocem, \(\ X=\{\)jabłko, banan, gruszka, melon\(\}\)Sprawdzimy, jakie zdania powstają dla kolejnych elementów z dziedziny formy zdaniowej \(\varphi(x)\). Wstawiamy elementy zbioru \(X=\{\)jabłko, banan, gruszka, melon\(\}\) do naszej formy zdaniowej i otrzymujemy: Jabłko jest owocem.
Banan jest owocem.
Gruszka jest owocem.
Melon jest owocem. Widzimy, że wszystkie zdania są prawdziwe. Oznacza to, że każdy element zbioru \(X\) spełnia formę \(\varphi (x)\). Zatem forma ta jest tożsamościowa w zbiorze \(X\). -
\(\displaystyle \varphi (x): x\) jest planetą, \(\ X=\{\)Słońce, Księżyc, Proxima Centauri\(\}\)Sprawdzimy, jakie zdania powstają dla kolejnych elementów z dziedziny formy zdaniowej \(\varphi(x)\). Wstawiamy elementy zbioru \(X=\{\)Słońce, Księżyc, Proxima Centauri\(\}\) do naszej formy zdaniowej i otrzymujemy: Słońce jest planetą.
Księżyc jest planetą.
Proxima Centauri jest planetą. Widzimy, że wszystkie zdania są fałszywe. Oznacza to, że żaden element ze zbioru \(X\) nie spełnia formy zdaniowej \(\varphi (x)\). Zatem forma ta jest sprzeczna w zbiorze \(X\). -
\(\displaystyle \varphi (x): x>3\), \(\ X=\{-3,2,4,5\}\)Zauważmy, że po wstawieniu elementu \(5\) do formy zdaniowej \(\varphi\) otrzymujemy zdanie \[5>3\] Zdanie to jest prawdziwe. Zatem forma \(\varphi (x)\) nie jest sprzeczna. Jednocześnie po wstawieniu elementu \(2\) do formy zdaniowej \(\varphi\), otrzymujemy zdanie \[2>3\] Zdanie to jest fałszywe. Zatem forma \(\varphi (x)\) nie jest też tożsamościowa.
Rozwiązując równania lub nierówności, często stosujemy przekształcenia, które nie zmieniają zbioru ich rozwiązań. Innymi słowy zapisujemy równanie lub nierówność w postaci równoważnych z nimi form zdaniowych.
Formy zdaniowe \(p(x)\) i \(q(x)\) nazywamy równoważnymi, jeżeli każdy element spełniający formę \(p(x)\) spełnia także formę \(q(x)\) i odwrotnie. Zapisujemy to symbolicznie \[ p(x)\Longleftrightarrow q(x) \]
Przykład
Forma zdaniowa \(\sqrt{x}>0\) jest równoważna z formą \(\sqrt{x}+5>5\).
Przykład
Forma zdaniowa \[ {x+1\over x}\geq 0 \] nie jest równoważna z formą zdaniową \[ (x+1)x\geq 0, \] ponieważ \(x=0\) nie należy do dziedziny formy zdaniowej \(\displaystyle {x+1\over x}\geq 0\), jednocześnie spełniając formę \((x+1)x\geq 0\). Jednak forma zdaniowa \[ {x+1\over x}\geq 0 \] jest równoważna z formą zdaniową\[ (x+1)x\geq 0 \quad \wedge \quad x\neq 0 \]