Prawo zaprzeczenia implikacji \[\sim (p\Rightarrow q) \Longleftrightarrow \big[\:p\:{ \wedge}\: (\sim q)\big]\]
Prawo zaprzeczenia alternatywy \[\sim (p\:{ \vee}\: q) \Longleftrightarrow \big[(\sim p )\:{ \wedge}\: (\sim q)\big]\]
Kwantyfikatory
Rozpoczniemy od definicji kwantyfikatora ogólnego i szczególnego.
Wyrażenie „dla każdego \(x\)” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy symbolem \[ \bigwedge_{x} \quad \hbox{lub} \quad \forall_{x} \]
Wyrażenie „istnieje \(x\) takie, że” nazywamy kwantyfikatorem szczególnym i oznaczamy symbolem \[ \bigvee_{x} \quad \hbox{lub} \quad \exists_{x} \]
W dalszej części kursu będziemy używać symboli \(\bigvee\) oraz \(\bigwedge\).
Przykład
Zdanie \[ \bigwedge_{x}\quad x^2+2>0 \] jest zdaniem prawdziwym w zbiorze \(\mathbb{R}\), natomiast \[ \bigwedge_{x} \quad x^2-1<0 \] jest zdaniem fałszywym w zbiorze \(\mathbb{R}\), ale jest prawdziwe w przedziale \((-1,1)\).
Zadanie
Zapisz podane zdania za pomocą kwantyfikatorów:
-
Dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) spełniona jest nierówność \(n^2+3>2\).\[\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad n^2+3>2\]
-
Istnieje takie \(x\in\mathbb{R}\), dla którego spełnione jest równanie \(x^2+x-2=0\).\[\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad x^2+x-2=0\]
-
Dla każdego \(x,y\in\mathbb{R}\) i każdego \(n\in\mathbb{N}\) spełnione jest równanie \(x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n\).\[\bigwedge_{x,y\in\mathbb{R}}\quad\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad x^n\cdot y^n=(x\cdot y)^n\]
-
Dla każdego \(x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\) istnieje \(y\in\mathbb{R}\) takie, że spełnione jest równanie \(y={1\over x}\).\[\bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}\quad\bigvee\limits_{y\in\mathbb{R}}\quad y={1\over x}\]
-
Istnieje \(x\in\mathbb{R}\) takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) spełniona jest nierówność \(x\le n\).\[\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad\bigwedge_{n\in\mathbb{N}}\quad x\le n\]
Zadanie
Zapisz słowami następujące zdania:
-
\(\displaystyle\bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \sin x \leq 1\)Dla każdego \(x\in\mathbb{R}\) spełniona jest nierówność \(\sin x \leq 1\).
-
\(\displaystyle\bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \sqrt{x^2}=\vert x\vert\)Dla każdego \(x\in\mathbb{R}\) spełnione jest równanie \(\sqrt{x^2}=\vert x\vert\).
-
\(\displaystyle\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad x^2-1=0\)Istnieje \(x\in\mathbb{R}\), dla którego spełnione jest równanie \(x^2-1=0\).
-
\(\displaystyle\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad \cos x={1\over 2}\)Istnieje \(x\in\mathbb{R}\), dla którego spełnione jest równanie \(\cos x={1\over 2}\).
Zadanie
Poprzedź podane wyrażenie takim kwantyfikatorem, aby otrzymane zdania były prawdziwe:
-
\(\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1\)Widzimy, że dziedziną równania \(\displaystyle (x-1)^2=x^2-2x+1\) jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponadto lewa strona równania jest kwadratem różnicy, więc zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \[(x-1)^2=x^2-2x+1\] Zatem podana równość jest prawdziwa w całej swojej dziedzinie, dlatego możemy użyć kwantyfikatora ogólnego \[\bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad (x-1)^2=x^2-2x+1\]
-
\(\sin x=\cos x\)Widzimy, że dziedziną równania \(\sin x=\cos x\) jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Narysujemy wykresy funkcji \(y=\sin x\) i \(y=\cos x\).Z rysunku wynika, że równość \(\sin x=\cos x\) zachodzi tylko dla \[x={\pi\over4} + 2k\pi \ \vee \ x=\pi +{\pi\over4} + 2k\pi ,\ \hbox{gdzie} \ k\in \mathbb{Z}\] Zatem podana równość nie jest prawdziwa w całej swojej dziedzinie, dlatego możemy użyć kwantyfikatora szczególnego \[\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad \sin x=\cos x\]
Wykres funkcji sinus i cosinus -
\(\log_a x=b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b=x\)Ponieważ w formie zdaniowej \(\log_a x=b \Longleftrightarrow a^b=x\) odnajdujemy definicję logarytmu, to jej dziedzinę wyznaczamy z warunków: \[a\in\mathbb{R}_+\backslash\{1\}, \quad x\in\mathbb{R}_+\quad\textrm{ oraz }\quad b\in\mathbb{R}\] Zatem podana forma zdaniowa jest prawdziwa w całej swojej dziedzinie, dlatego możemy użyć kwantyfikatorów ogólnych dla każdej z trzech zmiennych \(a,x,b\) \[\bigwedge\limits_{a\in\mathbb{R}_+\backslash\{1\}}\quad\bigwedge\limits_{x\in\mathbb{R}_+}\quad \bigwedge\limits_{b\in\mathbb{R}} \quad\log_a x=b \quad \Longleftrightarrow \quad a^b=x\]
-
\(\cos x\leq 1\)Widzimy, że dziedziną nierówności \(\cos x\leq 1\) jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponadto zbiorem wartości funkcji \(y=\cos x\) jest przedział \(\langle -1,1\rangle\). Zatem podana nierówność jest spełniona w całej swojej dziedzinie, dlatego możemy użyć kwantyfikatora ogólnego \[\bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \cos x\leq 1\]
-
\(x^2+3x+2=0\)Widzimy, że dziedziną równania \(x^2+3x+2=0\) jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponadto trójmian kwadratowy \(x^2+3x+2\) ma dwa pierwiastki: \(-1\) i \(-2\). Zatem podana równość nie jest prawdziwa w całej swojej dziedzinie, dlatego możemy użyć kwantyfikatora szczególnego \[\bigvee_{x\in\mathbb{R}}\quad x^2+3x+2=0\]
Dla zdań zapisanych za pomocą kwantyfikatorów również istnieją tautologie. Najważniejsze z nich to prawa de Morgana. Poznamy je i nauczymy się je stosować.
Prawem (tautologią) rachunku kwantyfikatorów nazywamy zdanie zawierające kwantyfikatory, które jest prawdziwe bez względu na to, jakie formy zdaniowe wstawimy do tego zdania.
Podstawowe tautologie rachunku kwantyfikatorów (prawa de Morgana dla kwantyfikatorów): \[ \sim \bigwedge_x \ \varphi(x)\quad \Longleftrightarrow\quad \bigvee_x \ \sim \varphi(x) \] \[ \sim \bigvee_x \ \varphi(x)\quad \Longleftrightarrow\quad \bigwedge_x\
\sim \varphi(x) \]
Zadanie
Utwórz zaprzeczenia podanych zdań:
-
\(\displaystyle \bigwedge \limits_x \ W(x)=0\)Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów zaprzeczeniem zdania \(\bigwedge\limits_x \varphi(x)\) jest zdanie \(\bigvee\limits_x \sim \varphi(x)\). Zatem zaprzeczeniem podanego zdania jest zdanie \[ \bigvee_x \ \ W(x)\neq 0 \]
-
\(\displaystyle \bigwedge\limits_x \ W(x)=0\ \Rightarrow \ P(x)=0\)Z prawa de Morgana dla kwantyfikatorów i prawa zaprzeczenia implikacji wynika, że zaprzeczeniem podanego zdania jest zdanie \[ \bigvee_x \ W(x)=0\ \wedge \ P(x)\neq 0 \]
-
Każda prosta przechodząca przez punkt \(A\) jest równoległa do prostej \(l\).Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów zaprzeczenie danego zdania to zdanie Istnieje prosta przechodząca przez punkt \(A\) nierównoległa do prostej \(l\).
-
\(\displaystyle \bigvee\limits_x\ W(x)=0\)Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów zaprzeczeniem zdania \(\bigvee\limits_x \varphi(x)\) jest zdanie \(\bigwedge\limits_x \sim \varphi(x)\). Zatem zaprzeczeniem podanego zdania jest zdanie \[ \bigwedge_x\ W(x)\neq 0 \]
-
\(\displaystyle \bigvee\limits_x \ W(x)=0 \ \vee \ P(x)\neq 0\)Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów i prawem zaprzeczenia alternatywy zaprzeczeniem danego zdania jest zdanie \[ \bigwedge_x \ W(x)\neq 0 \ \wedge \ P(x)=0 \]
-
Istnieje prosta, która przechodzi przez punkt \(A\).Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów zaprzeczeniem danego zdania jest zdanie Żadna prosta nie przechodzi przez punkt \(A\).
-
Istnieje okrąg styczny do prostej \(l\).Zgodnie z prawem de Morgana dla kwantyfikatorów zaprzeczeniem danego zdania jest zdanie Żaden okrąg nie jest styczny do prostej \(l\).