Definicja funkcji

Definicja
Niech \(X,Y\) będą niepustymi zbiorami. Funkcją określoną w zbiorze \(X\) o wartościach w zbiorze \(Y\) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi \(x\in X\) dokładnie jednego elementu \(y\in Y\) i oznaczamy przez \[ f: X\longrightarrow Y \] Wartość \(y\) funkcji \(f\) w punkcie \(x\) oznaczamy przez \(f(x)\).
Rysunek przedstawiający funkcję f za pomocą grafu.
Funkcja \(f:X\longrightarrow Y\)
Funkcję można określić:
  1. za pomocą grafu, np.
    Rysunek przedstawiający funkcję za pomocą grafu.
  2. za pomocą tabeli, np.
    \(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
    \(f(x)\) \(1\) \(4\) \(9\) \(16\) \(25\)
  3. za pomocą wzoru, np. \(f(x)=\vert x \vert -3\) dla \(x\in(-2,3)\)
  4. za pomocą wykresu, np.
    Rysunek przedstawiający funkcję za pomocą jej wykresu w układzie współrzędnych.
  5. słownie, np. funkcja \(f\) przyporządkowuje każdemu miastu w Polsce województwo, do którego ono należy.
W dalszej części będziemy rozważać funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej, tzn. \(f:X\longrightarrow Y\), gdzie \(X,Y\subset\mathbb{R}\).
Rysunek przedstawiający schemat działania funkcji rzeczywistej.
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej
Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej \(x\) najczęściej są opisywane za pomocą wzoru, np. \(f(x)=1-x\). Jeżeli chcemy obliczyć wartość takiej funkcji dla dowolnego argumentu \(x_0\), musimy wstawić \(x_0\) do wzoru funkcji w miejsce niewiadomej \(x\). Przykładowo wartość wspomnianej funkcji \(f\) dla argumentu \(x_0=2\) wynosi \[f(2)=1-2=-1,\] a wartość tej funkcji dla argumentu \(x_0=b-2\) wynosi \[f(b-2)=1-(b-2)=1-b+2=3-b\]
Zadanie
Dla funkcji \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) wyznacz \(f(1)\), \(f(3)\), \(f(a)\), \(f(c)\), \(f(b-a)\), \(f(2a+1)\), \(f(x-5)\), gdzie \(a,b,c,x\in\mathbb{R}\), jeżeli:
  1. \(\displaystyle f(x)=2x+5\)
    Jeżeli \(f(x)=2x+5\), to \[\eqalign{&f(1)=2\cdot 1+5=7 \cr &f(3)=2\cdot 3+5=11 \cr &f(a)=2a+5 \cr &f(c)=2c+5 \cr &f(b-a)=2(b-a)+5=2b-2a+5 \cr &f(2a+1)=2(2a+1)+5=4a+2+5=4a+7\cr &f(x-5)=2(x-5)+5=2x-10+5=2x-5\cr}\]
  2. \(\displaystyle f(x)=3x^2-2x+1\)
    Jeżeli \(f(x)=3x^2-2x+1\), to \[\eqalign{&f(1)=3\cdot 1^2-2\cdot 1+1=2 \cr &f(3)=3\cdot 3^2-2\cdot 3+1=22 \cr &f(a)=3a^2-2a+1 \cr &f(c)=3c^2-2c+1 \cr &f(b-a)=3(b-a)^2-2(b-a)+1=3(b^2-2ab+a^2)-2b+2a+1=\cr &\qquad\qquad\! =3b^2-6ab+3a^2-2b+2a+1 \cr &f(2a+1)=3(2a+1)^2-2(2a+1)+1=3(4a^2+4a+1)-4a-2+1=\cr &\qquad\qquad\ \! =12a^2+8a+2\cr &f(x-5)=3(x-5)^2-2(x-5)+1 =3(x^2-10x+25)-2x+10+1=\cr &\qquad\qquad\! =3x^2-32x+86\cr}\]
  3. \(\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2}\)
    Jeżeli \(f(x)=\sqrt{x^2+2}\), to \[\eqalign{&f(1)=\sqrt{1^2+2}=\sqrt{3} \cr &f(3)=\sqrt{3^2+2}=\sqrt{11} \cr &f(a)=\sqrt{a^2+2} \cr &f(c)=\sqrt{c^2+2} \cr &f(b-a)=\sqrt{(b-a)^2+2}=\sqrt{b^2-2ab+a^2+2} \cr &f(2a+1)=\sqrt{(2a+1)^2+2}=\sqrt{4a^2+4a+3} \cr &f(x-5)=\sqrt{(x-5)^2+2}=\sqrt{x^2-10x+27}\cr}\]
  4. \(\displaystyle f(x)=2^{x+\vert x\vert}\)
    Jeżeli \(f(x)=2^{x+\vert x\vert}\), to \[\eqalign{&f(1)=2^{1+\vert 1\vert}=2^2=4 \cr &f(3)=2^{3+\vert 3\vert}=2^6 \cr &f(a)=2^{a+\vert a\vert} \cr &f(c)=2^{c+\vert c\vert} \cr &f(b-a)=2^{b-a+\vert b-a\vert} \cr &f(2a+1)=2^{2a+1+\vert 2a+1\vert} \cr &f(x-5)=2^{x-5+\vert x-5\vert}\cr}\]