Równość i obcięcie funkcji
Funkcje \(f:D_f \longrightarrow Y\) oraz \(g:D_g\longrightarrow Y\) są równe, jeżeli \[ D_f=D_g\quad\wedge\quad\bigwedge_{x\in D_f}\ f(x)=g(x) \]
Przykład
Zbadamy, czy funkcje \(f\) i \(g\) są sobie równe, jeżeli są one określone wzorami: \[f(x)={x^2+2x\over x}\quad \hbox{oraz}\quad g(x)=x+2\] Zauważmy, że odpowiedź na to pytanie zależy od tego, w jakich dziedzinach rozważamy obie funkcje. Jeżeli każda z nich jest określona w swojej dziedzinie naturalnej, t.j. \[D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\quad\hbox{ oraz} \quad D_g=\mathbb{R},\] to funkcje \(f\) i \(g\) nie są równe, ponieważ \(D_f\neq D_g\).
Jeżeli jednak obie funkcje \(f\) i \(g\) są określone w zbiorze \[D\subseteq\mathbb{R}\backslash\{0\},\] to są one równe, ponieważ po przekształceniu wzoru określającego funkcję \(f\) otrzymujemy, że \[f(x)=x+2=g(x)\] dla każdego \(x\in D\).
Po zawężeniu dziedziny naturalnej funkcji do niepustego jej podzbioru właściwego (różnego od dziedziny naturalnej) otrzymujemy nową funkcję zwaną obcięciem.
Obcięciem (zwężeniem) funkcji \(f:X\longrightarrow Y\) do zbioru \(A\subset X\) \((\emptyset\neq A\neq X)\) nazywamy funkcję \(f\vert_A: A\longrightarrow Y\) taką, że \[ \bigwedge_{x\in A}\ f\vert_A(x)=f(x) \]
Obcięcie funkcji
Przykład
Przyjrzyjmy się jeszcze raz funkcjom \(f\) i \(g\) określonym za pomocą wzorów \[f(x)={x^2+2x\over x}\quad \hbox{oraz}\quad g(x)=x+2\] w ich dziedzinach naturalnych \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\) i \(D_g=\mathbb{R}\). Zauważmy, że funkcja \(f\) jest obcięciem funkcji \(g\) do zbioru \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\), czyli \[f=g\vert_{\mathbb{R}\backslash\{0\}}\]
Zadanie
Funkcja \(f\) przedstawiona jest za pomocą grafu
-
\(A=X\backslash \{x_3\}\)Dziedzinę funkcji \(f\) pomniejszamy o argument \(x_3\) i otrzymujemy
-
\(A=\{x_1\}\)Z dziedziny funkcji \(f\) usuwamy argumenty \(x_2\), \(x_3\) i otrzymujemy
