\(y=f(|x|)\)

\(\boldsymbol {y=f(|x|)}\)

Fakt

Wykres funkcji \(y=f(\vert x\vert)\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=f(x)\), gdy \(x\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu tego fragmentu względem osi \(Oy\).

Wykres otrzymany w wyniku symetrii względem osi Oy części wykresu funkcji f znajdującej się po prawej stronie osi Ox.

Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(\vert x\vert )\)

Przykład

Funkcja \(f\) dana jest za pomocą tabelki


\(x\)	\(-9\)	\(-5\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(10\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-7\)	\(0\)	\(5\)

Jeżeli funkcja \(g(x)=f(\vert x\vert )\), to możemy ją opisać za pomocą tabelki


\(x\)	\(-10\)	\(-4\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(10\)
\(g(x)\)	\(5\)	\(0\)	\(-7\)	\(-3\)	\(-7\)	\(0\)	\(5\)

Zadanie

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiony jest na poniższym rysunku.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji f.

Narysuj wykres funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(\vert x\vert )\). Podaj dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji \(g\).

Ponieważ wykres funkcji \(y=f(\vert x\vert)\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=f(x)\), gdy \(x\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu tego fragmentu względem osi \(Oy\), to wykres szukanej funkcji \(g\) wygląda tak, jak na poniższym ryzunku.

Rysunek przedstawiający wykres funkcji g.

Z wykresu odczytujemy, że dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór \(D_g=(-4,4)\), a zbiorem wartości funkcji \(g\) jest zbiór \[W_g=\left(-\infty, -1\right\gt \cup \left(1,2\right \gt \] Ponieważ funkcja \(f\) nie miała dodatnich miejsc zerowych, to funkcja \(g\) nie posiada miejsc zerowych.