Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) mamy \[ f(-x)=3(-x)^4+2(-x)^2+4=3x^4+2x^2+4=f(x) \] Zatem funkcja \(f\) jest parzysta.

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) mamy \[ f(-x)=(-x)^5\sqrt{(-x)^4+2}=-x^5\sqrt{x^4+2}=-f(x) \] Zatem funkcja \(f\) jest nieparzysta.

Zauważmy, że funkcja \(f \) jest iloczynem funkcji \[f_1(x)=3x^4+2x^2+4 \quad \text{oraz}\quad f_2(x)=x^5\sqrt{x^4+2} \] Z poprzednich podpunktów a. i b. tego zadania wynika, że \(f_1 \) jest funkcją parzystą, a \(f_2 \) jest funkcją nieparzystą. Ponieważ iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą, to funkcja \[f=f_1\cdot f_2 \] jest nieparzysta.

Dziedziną funkcji jest zbiór \(D_f=\mathbb{R} \) i dla każdego \(x\in \mathbb{R} \) mamy \[\eqalign{ f(-x)&=\vert 2(-x)+3\vert - \vert 2(-x)-3\vert=\vert -2x+3\vert - \vert -2x-3\vert=\cr &=\vert -(2x-3)\vert - \vert -(2x+3)\vert\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\vert 2x-3\vert - \vert 2x+3\vert=-f(x) \cr }\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z własności wartości bezwzględnej (\(|a\cdot b|=|a|\cdot |b|\)). Wykazaliśmy więc, że funkcja \(f \) jest nieparzysta.

Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\) i dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) mamy \[ f(-x)=(-x)^4-3(-x)^3+1=x^4+3x^3+1 \] Sprawdźmy, czy \(f(x)=f(-x)\) \[ x^4-3x^3+1=x^4+3x^3+1 \] \[ x^3=-x^3 \] \[ x=0 \] Funkcja \(f\) nie jest parzysta, ponieważ warunek \(f(x)=f(-x)\) zachodzi tylko w jednym punkcie jej dziedziny. Podobnie można pokazać, że funkcja \(f\) nie jest nieparzysta. Łatwiej jest jednak wskazać punkt, w którym nie zachodzi równość \(f(-x)=-f(x)\). Takim punktem jest np. \(x=1\), ponieważ \(f(1)=2\) i \(f(-1)=8\). Zatem funkcja \(f\) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemne, więc dziedziną funkcji jest zbiór \(D_f=\left<0,\infty\right)\). Jeżeli \(x>0\), to \(-x\notin D_f\). Oznacza to, że funkcja \(f\) nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Niech \(x\in\left(-\infty,0\right) \). Wtedy \(-x\in \left(0,\infty\right) \) oraz \[f(-x)=4(-x)-2=-4x-2\] Zatem szukana funkcja parzysta \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) określona jest wzorem \[f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-4x-2 & \text{dla}& x\in \left(-\infty,0\right) \\ 4x-2 & \text{dla} & x\in \left<0,\infty\right) \end{array}\right.\]

Niech \(x\in\left(-\infty,0\right) \). Wtedy \(-x\in \left(0,\infty\right) \) oraz \[f(-x)=3(-x)^3+(-x)^2-3=-3x^3+x^2-3\] Zatem szukana funkcja parzysta \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) określona jest wzorem \[f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-3x^3+x^2-3 & \text{dla}& x\in \left(-\infty,0\right) \\ 3x^3+x^2-3 & \text{dla} & x\in \left<0,\infty\right) \end{array}\right.\]

Niech \(x\in\left(-\infty,0\right) \). Wtedy \(-x\in \left(0,\infty\right) \) oraz \[-f(-x)=-(-2(-x)+5)=-(2x+5)=-2x-5\] Dodatkowo wiemy, że wartość funkcji nieparzystej w punkcie \(x=0\) musi być równa \(0\) (patrz uwaga powyżej). Zatem szukana funkcja nieparzysta \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) określona jest wzorem \[f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-2x-5 & \text{dla}& x\in \left(-\infty,0\right) \\ 0 & \text{dla}& x=0 \\ -2x+5 & \text{dla} & x\in \left(0,\infty\right) \end{array}\right.\]

Niech \(x\in\left(-\infty,0\right) \). Wtedy \(-x\in \left(0,\infty\right) \) oraz \[\eqalign{ -f(-x)&=-\left(2(-x)^4-4(-x)^3+(-x)-1\right)=\cr &=-\left(2x^4+4x^3-x-1\right)=-2x^4-4x^3+x+1\cr}\] Dodatkowo wiemy, że wartość funkcji nieparzystej w punkcie \(x=0\) musi być równa \(0\). Zatem szukana funkcja nieparzysta \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) określona jest wzorem \[f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-2x^4-4x^3+x+1 & \text{dla}& x\in \left(-\infty,0\right) \\ 0 & \text{dla}& x=0 \\ 2x^4-4x^3+x-1 & \text{dla} & x\in \left(0,\infty\right) \end{array}\right.\]