Okresowość funkcji
Funkcję \(f:X\longrightarrow Y\) nazywamy okresową, jeżeli \[\bigvee_{T>0}\quad \bigwedge_{x\in X}\quad x+T\in X \quad \wedge\quad f(x+T)=f(x)\] Liczbę \(T\) nazywamy okresem funkcji \(f\). Jeżeli istnieje najmniejszy okres
funkcji \(f\), to nazywamy go okresem podstawowym.
Funkcja okresowa
Zadanie
Na podstawie wykresu odczytaj okres podstawowy funkcji \(f\), jeżeli:
-
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Jej okres podstawowy to \(T=2\), ponieważ \(2\) jest najmniejszą z liczb \(T\), dla których \(f(x+T)=f(x)\). -
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Jej okres podstawowy to \(T=1\), ponieważ \(1\) jest najmniejszą z liczb \(T\), dla których \(f(x+T)=f(x)\). -
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Widzimy, że funkcja \(f\) jest funkcją stałą i dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) ma wartość \(-3\). Zatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(T\) i dla każdego \(x\in D_f\) spełnione są warunki: \[x+T\in D_f\quad\textrm{oraz}\quad f(x+T)=f(x)\] Oznacza to, że funkcja \(f\) jest funkcją \(T\)-okresową dla każdego dodatniego \(T\). Ponieważ nie istnieje najmniejsza liczba dodatnia, dlatego funkcja ta nie posiada okresu podstawowego. -
\( \)
Zauważmy, że dziedziną funkcji \(f\) jest nieskończona suma, symetrycznie położonych względem zera, przedziałów: \[D_f=\cdots \cup \left(-7,-5\right\rangle \cup \left(-4,-2\right\rangle \cup \left(-1,1\right\rangle \cup \left(2,4\right\rangle \cup \left(5,7\right\rangle \cup \cdots \] Zatem dla dowolnej liczby \(x\in D_f\) oraz \(n\in\mathbb{N}\) spełnione są warunki: \[x+3n\in D_f\quad\textrm{oraz}\quad f(x+3n)=f(x)\] Ponieważ najmniejszą z liczb postaci \(3n\) jest \(3\), to okresem podstawowym funkcji \(f\) jest \(T=3\).
Z definicji funkcji okresowej o okresie \(T \) wynika, że jeżeli funkcja \(f \) jest określona w przedziale podstawowym \((a,b) \), to jej wykres w przedziale \({(a+T,b+ T)} \) można otrzymać po przesunięciu wykresu z przedziału podstawowego o wektor \(\czerwony{\boldsymbol{\vec{v}=[T,0]}} \).
Uogólniając, wykres funkcji okresowej w \(k \)-tym przedziale \((a+k T,b+k T) \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \), otrzymujemy po przesunięciu wykresu podstawowego o wektor \(\vec{v_k}=[k T,0] \).
Przykład
Narysujemy wykres funkcji okresowej \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) o okresie podstawowym \(T=3 \) oraz podamy jej wzór, wiedząc, że dla \(x\in \left(-1,2\right> \) jest ona określona wzorem \(f(x)=2x-1 \).
Zaczniemy od narysowania wykresu funkcji \(f \) w przedziale podstawowym \(\left(-1,2\right> \).
Zadanie
Podaj wzór funkcji okresowej \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) o okresie podstawowym \(T\), wiedząc, że:
-
\(T=4\) i dla \(x\in \left<-3,1\right) \) funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=x^2+2x \)Ponieważ funkcja \(f \) jest okresowa i jej okres podstawowy to \(T=4 \), to \[\eqalign{ f(x)&=(x-4k)^2+2(x-4k)\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}x^2-8kx+16k^2+2x-8k=\cr &=x^2 +(2-8k)x+ 16k^2-8k\cr }\] dla \(x\in \left<-3+4k,1+4k\right) \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \). W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
-
\(T=\pi \) i dla \(x\in \left<0,2\right) \) funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\vert x-2\vert +2x \)Ponieważ funkcja \(f \) jest okresowa i jej okres podstawowy to \(T=\pi \), to \[f(x)=\vert(x-k\pi)-2\vert +2(x-k\pi)=\vert x-k\pi-2\vert +2x-2k\pi \] dla \(x\in \left<0+k\pi,2+k\pi\right) \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \).
Zadanie
Dana jest funkcja \(f \) określona w zbiorze \(D_f=\left(0,1\right) \) wzorem \(f(x)={1\over x} \). Wyznacz dziedzinę i podaj wzór funkcji okresowej \(g \), której wykres powstaje z przesunięcia wykresu funkcji \(f \) o wektor \(\vec{v}=[k,0] \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \).
Ponieważ wykres funkcji \(g \) powstaje z przesunięcia wykresu funkcji \(f \) o wektor \({\vec{v}=[k,0]} \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \), to dziedziną funkcji \(g \) jest suma przedziałów postaci \(\left(k,1+k\right) \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \). Zatem \(D_g=\mathbb{R}\backslash \mathbb{Z} \) oraz
\[g(x)=f(x-k)={1\over x-k}\]
dla \(x\in \left(k,1+k\right) \), gdzie \(k\in \mathbb{Z} \).
Poniższe twierdzenie będzie wykorzystane w części dotyczącej funkcji trygonometrycznych.
Jeżeli funkcja \(f\) jest funkcją okresową o okresie podstawowym \(T_f\), to funkcja \(g\) określona wzorem \(g(x)=f(\alpha x)\), gdzie \(\alpha >0\), jest również funkcją okresową, a jej okresem podstawowym jest \[T_g={T_f\over \alpha}\]