Monotoniczność funkcji
Rozpoczniemy od zdefiniowania funkcji stałej, rosnącej, niemalejącej, malejącej i nierosnącej.
Funkcję \(f\) nazywamy stałą w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[ \bigvee _{c\in \mathbb{R}}\quad\bigwedge_{x\in A}\quad f(x)=c \]
Funkcja stała, której dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R}\), jest funkcją okresową. Jej okresem jest każda dodatnia liczba rzeczywista. Ponieważ nie istnieje najmniejsza liczba dodatnia, dlatego nie istnieje najmniejszy okres tej funkcji, czyli funkcja
\(f\) nie ma okresu podstawowego. Każda funkcja stała jest również funkcją ograniczoną w swojej dziedzinie.
Funkcję \(f\) nazywamy rosnącą w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1 <x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)<f(x_2)\]
Funkcja rosnąca
Funkcję \(f\) nazywamy niemalejącą w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\leq f(x_2)\]
Funkcja niemalejąca
Funkcję \(f\) nazywamy malejącą w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[ \bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)>f(x_2)\]
Funkcja malejąca
Funkcję \(f\) nazywamy nierosnącą w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1<x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\geq f(x_2)\]
Funkcja nierosnąca
Funkcję nazywamy monotoniczną w pewnym zbiorze, jeżeli jest w tym zbiorze rosnąca albo malejąca, albo nierosnąca, albo niemalejąca.
Funkcję nazywamy ściśle monotoniczną w pewnym zbiorze, jeżeli jest w tym zbiorze rosnąca albo malejąca.
Zadanie
Na podstawie wykresu funkcji \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) podaj jej przedziały monotoniczności:
-
\( \)
Funkcja \(f\) jest malejąca w zbiorze \(\mathbb{R}\). -
\( \)
Zauważmy, że funkcja \(f\) nie jest rosnąca w zbiorze \(\mathbb{R}\). Na przykład dla \({x_1=-1}\) i \(x_2=1\) mamy \[x_1<x_2,\quad \hbox{ale}\quad f(x_1)=2>0=f(x_2)\] Funkcja \(f\) jest monotoniczna tylko przedziałami, mianowicie jest rosnąca w przedziałach \[\left(-\infty, -1\right>\quad \hbox{oraz}\quad (-1,\infty)\] -
\( \)
Zauważmy, że funkcja \(f\) nie jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie. Funkcja ta jest rosnąca w przedziałach \[\left(-\infty,-2\right>,\ \left<-1,0\right>\ \hbox{i} \ \left<1,2\right>\] oraz malejąca w przedziałach \[\left<-2,-1\right>,\ \left(0,1\right>\ \hbox{i} \ \left<2,\infty\right)\]