Prawo kontrapozycji
\[p\Rightarrow q \Longleftrightarrow (\sim q \Rightarrow \:\sim p)\]
Różnowartościowość funkcji
Funkcję \(f\) nazywamy różnowartościową (iniekcją) w zbiorze \({A\subset D_f}\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad x_1\not= x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\not= f(x_2)\]
Zauważmy, że funkcja jest różnowartościowa w zbiorze \(A\subset D_f\), jeżeli \[\bigwedge_{x_1,x_2\in A}\quad f(x_1)= f(x_2)\ \Longrightarrow\ x_1= x_2\] Wynika to z prawa kontrapozycji.
Jeżeli funkcja \(y=f(x) \) jest różnowartościowa, to dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a \), \(p \), \(q \), gdzie \(a\neq 0 \), różnowartościowe są również następujące funkcje:
- \(y=f(x-p)+q \)
- \(y=af(x) \)
- \(y=f(ax) \)
Zbadaj różnowartościowość funkcji \(f\) określonej wzorem:
-
\(f(x)=3x-2\)Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Niech \(x_1, x_2\in D_f\) spełniają warunek \(f(x_1)=f(x_2)\). Wtedy \[ \eqalign{ 3x_1-2&=3x_2-2\cr 3x_1&=3x_2 /:3\cr x_1&=x_2 \cr} \] Oznacza to, że funkcja \(f\) jest różnowartościowa.
-
\(\displaystyle f(x)={1\over x}\)Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\). Niech \(x_1, x_2\in D_f\) spełniają warunek \(f(x_1)=f(x_2)\). Wtedy \[ {1\over x_1}={1\over x_2}\quad \Longleftrightarrow\quad x_1=x_2 \] Zatem \(f\) jest funkcją różnowartościową.
-
\(\displaystyle f(x)=\vert 2x\vert-1\)Dziedziną funkcji \(f \) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R} \). Niech \(x_1, x_2\in D_f \) spełniają warunek \(f(x_1)=f(x_2) \). Wówczas \[\eqalign{ \vert 2x_1\vert -1&=\vert 2x_2\vert-1\cr \vert 2x_1\vert &=\vert 2x_2\vert\cr} \] Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[\eqalign{ 2x_1=2x_2\quad &\vee\quad 2x_1= -2x_2\cr x_1=x_2\quad &\vee\quad x_1= -x_2\cr } \] Ponieważ z warunku \(f(x_1)=f(x_2) \) wynika nie tylko warunek \(x_1=x_2 \), ale również warunek \(x_1= -x_2 \), to funkcja \(f \) nie jest różnowartościowa. Fakt ten można udowodnić krócej, wskazując dwa różne argumenty, dla których wartości funkcji \(f \) są sobie równe. Takimi argumentami są np. \(-1 \) i \(1 \), ponieważ \[f(-1)=1=f(1) \]
-
\(f(x)=x^2 +x\)Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\). Zauważmy, że dla \(x_1=-1\) i \(x_2=0\) mamy \[f(-1)=0=f(0),\] zatem funkcja \(f\) nie jest różnowartościowa.
-
\(\displaystyle f(x)={1\over x+4}+2 \)Dziedziną funkcji \(f \) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-4\} \). Zauważmy, że wykres funkcji \(f\) powstaje z przesunięcia o wektor \(\vec{v}=[-4,2]\) wykresu funkcji różnowartościowej \(y={1\over x} \), więc funkcja \(f \) jest również różnowartościowa.
-
\(\displaystyle f(x)={1\over x^2-x} \)Ponieważ mianownik nie może być równy zero, dlatego dziedzinę funkcji \(f \) wyznaczamy z warunku \[D_f:\quad x^2-x\neq 0\] \[\quad \quad x(x-1)\neq 0\] \[\quad \quad x\neq 0\quad \wedge\quad x\neq 1\] Zatem dziedziną funkcji \(f \) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0,1\} \). Zauważmy, że dla \(x_1=-1 \) i \(x_2=2 \) mamy \[f(-1)=2=f(2),\] zatem funkcja \(f \) nie jest różnowartościowa.
Przykład ten dowodzi, że różnowartościowość jednej funkcji składowej nie gwarantuje różnowartościowości całego złożenia funkcji. Mamy bowiem funkcję \(f(x)={1\over x^2-x} \), która jest złożeniem funkcji różnowartościowej \(g(x)={1\over x} \) z funkcją nieróżnowartościową \(h(x)=x^2-x \) i nie jest różnowartościowa.
Jeżeli funkcja \(f\) jest rosnąca albo malejąca w pewnym zbiorze, to jest różnowartościowa w tym zbiorze.
Uwaga
Twierdzenie odwrotne do powyższego twierdzenia nie jest prawdziwe, istnieją bowiem funkcje różnowartościowe w pewnym zbiorze, ale nie są one ani rosnące, ani malejące w tym zbiorze.
Przykład
Rozważmy funkcję \(f\) określoną za pomocą wzoru \[ f(x)=\cases{x &dla \(\ x\in \mathbb{R}\backslash\{1,3\}\)\cr 3 &dla \(\ x=1\)\cr 1 &dla \(\ x=3\)\cr } \] Jej wykres jest przedstawiony na poniższym rysunku.
