Wzajemna jednoznaczność funkcji
Mówimy, że funkcja \(f\) odwzorowuje zbiór \(X\) na zbiór \(Y\) (jest suriekcją), jeżeli \[\bigwedge_{y\in Y}\quad \bigvee_{x\in X}\quad f(x)=y\] Piszemy wtedy \(f:X \buildrel na \over \longrightarrow Y\), co oznacza, że \(W_f=Y\).
Możemy teraz zdefiniować funkcję wzajemnie jednoznaczną.
Funkcję \(f:X\longrightarrow Y\) nazywamy wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), jeżeli jest jednocześnie różnowartościowa i \(Y\) jest zbiorem jej wartości (jest iniekcją i suriekcją).
Niech \(f:X\longrightarrow Y\), gdzie \(X,Y\subset \mathbb{R}\).
- Wykres funkcji różnowartościowej (iniekcji) \(y=f(x)\) ma co najwyżej jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in Y\).
Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się liczba punktów wspólnych wykresu funkcji \(y=f(x)\) z prostą \(y=a\) w zależności od wartości liczby \(a\)
Ilustracja różnowartościowości funkcji \(y=f(x)\) - Wykres funkcji \(y=f(x)\), gdy \(Y\) jest zbiorem jej wartości (suriekcji), ma co najmniej jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in Y\).
Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, że wykres funkcji \(y=f(x)\), której zbiorem wartości jest zbiór \(Y\) ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostą \(y=a\) niezależnie od wartości liczby \(a\)
Ilustracja równości przeciwdziedziny i zbioru wartości funkcji - Wykres funkcji wzajemnie jednoznacznej (bijekcji) \(y=f(x)\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z dowolną prostą \(y=a\), gdzie \(a\in Y\).
Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, że wykres funkcji \(y=f(x)\) wzajemnie jednoznacznej ma dokładnie jeden punkt wspólny z prostą \(y=a\) niezależnie od wartości liczby \(a\)
Ilustracja wzajemnej jednoznaczności funkcji
Zadanie
Na podstawie grafu lub wykresu funkcji \(f\) określ, czy jest ona wzajemnie jednoznaczna:
-
\(f:X\longrightarrow Y\)
Zauważmy, że każdy element ze zbioru \(Y\) jest wartością funkcji \(f\) dla pewnego argumentu ze zbioru \(X\), czyli \[W_f=Y\] Jednak funkcja \(f\) nie jest różnowartościowa, ponieważ dwóm różnym argumentom \(x_2\) i \(x_3\) przyporządkowana jest ta sama wartość \(y_2\), to znaczy \[f(x_2)=f(x_3)=y_2\] Zatem \(f\) nie jest wzajemnie jednoznaczna. -
\(f: X\longrightarrow Y\)
Funkcja \(f\) przedstawiona na powyższym grafie jest różnowartościowa, ponieważ żaden element ze zbioru \(Y\) nie został wykorzystany więcej niż jeden raz. Jednak element \(y_4\) nie został przyporządkowany żadnemu argumentowi ze zbioru \(X\), czyli \(W_f\neq Y\), co oznacza, że funkcja \(f\) nie jest wzajemnie jednoznaczna. -
\(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\)
Funkcja \(f\) nie jest różnowartościowa, gdyż wykres funkcji \(y=f(x)\) i prostej \(y=0\) posiadają więcej niż jeden punkt wspólny. Zatem funkcja \(f\) nie jest wzajemnie jednoznaczna. -
\(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\)
Funkcja \(f\) jest wzajemnie jednoznaczna, ponieważ wykres każdej prostej \(y=a\), gdzie \(a\in \mathbb{R}\), przecina dokładnie jeden raz wykres funkcji \(f\). -
\(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\)
Ponieważ prosta \(y=0\) przecina wykres funkcji \(f\) w dwóch miejscach, dlatego funkcja nie jest różnowartościowa i nie jest wzajemnie jednoznaczna. -
\(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\)
Zauważmy, że wykresy prostych \(y=a\), gdzie \(a\in (-\infty,-1\rangle \cup \langle 1,\infty)\), nie mają punktów wspólnych z wykresem funkcji \(f\), co oznacza, że \[W_f=(-1,1)\neq \mathbb{R}\] Zatem funkcja \(f\) nie jest wzajemnie jednoznaczna. -
\(f: \langle 0,\infty)\longrightarrow \langle 0,\infty)\)
Funkcja \(f\) jest wzajemnie jednoznaczna, ponieważ wykres każdej prostej \(y=a\), gdzie \(a\in \left<0, \infty\right)\), przecina wykres funkcji \(y=f(x)\) dokładnie jeden raz. Zatem funkcja \(f\) jest wzajemnie jednoznaczna.