Definicja i miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Definicja
Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) określoną wzorem \[f(x)=ax^2+bx+c,\] gdzie \(a,b,c\in \mathbb{R}\) i \(a\neq 0\).
Definicja
Wyróżnikiem trójmianu kwadratowego \(y=ax^2+bx+c\) nazywamy liczbę \(\Delta\) określoną wzorem \[\Delta=b^2-4ac\]
Zadanie
Oblicz wyróżnik \(\Delta\) trójmianu kwadratowego:
  1. \(-x^2+2x+3\)
    Widzimy, że współczynniki trójmianu \(-x^2+2x+3\) to: \[a=-1,\quad b=2,\quad c=3\] Zatem wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot (-1)\cdot 3=4+12=16\]
  2. \(2x^2-\sqrt{3}x+4\)
    Widzimy, że współczynniki trójmianu \(2x^2-\sqrt{3}x+4\) to: \[a=2,\quad b=-\sqrt{3},\quad c=4\] Zatem wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=b^2-4ac=\left(-\sqrt{3}\right)^2-4\cdot 2\cdot 4=3-32=-29\]
  3. \(9-12x+4x^2\)
    Widzimy, że współczynniki trójmianu \(9-12x+4x^2\) to: \[a=4,\quad b=-12,\quad c=9\] Zatem wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9=144-144=0\]
  4. \(x^2-{1\over 2}x\)
    Widzimy, że współczynniki trójmianu \(x^2-{1\over 2}x\) to: \[a=1,\quad b=-{1\over 2},\quad c=0\] Zatem wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=b^2-4ac=\left(-{1\over 2}\right)^2-4\cdot 1\cdot 0={1\over 4}-0={1\over 4}\]
  5. \(7-3x^2\)
    Widzimy, że współczynniki trójmianu \(7-3x^2\) to: \[a=-3,\quad b=0,\quad c=7\] Zatem wyróżnik tego trójmianu wynosi \[\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot (-3)\cdot 7=0+84=84\]
Funkcja kwadratowa może mieć co najwyżej dwa różne miejsca zerowe. Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości związanego z nią wyróżnika \(\Delta\) w następujący sposób.
Twierdzenie
Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe tylko wtedy, gdy \(\Delta\geq 0\). Obliczamy je wówczas, korzystając ze wzorów: \[x_1={-b-\sqrt{\Delta}\over 2a}, \qquad x_2={-b+\sqrt{\Delta}\over 2a}\] Jeżeli \(\Delta=0\), to \(x_1=x_2=-{b\over 2a}\). Miejsce zerowe funkcji kwadratowej, której wyróżnik \(\Delta\) jest zerowy, oznaczamy przez \(x_0\).
Przykład
Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f(x)= x^2-3x+2\). Policzmy najpierw wyróżnik trójmianu kwadratowego, w którym \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\) \[\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1\] Skoro wyróżnik jest dodatni, to miejscami zerowymi funkcji \(f\) są: \[x_1={-b-\sqrt{\Delta}\over 2a}, \qquad x_2={-b+\sqrt{\Delta}\over 2a}\] \[x_1={3-\sqrt{1}\over 2\cdot 1}, \qquad x_2={3+\sqrt{1}\over 2\cdot 1}\] \[x_1=1, \qquad x_2=2\]
Zadanie
Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f\) określonej za pomocą wzoru:
  1. \(f(x)= 2x^2+10x+8\)
    Policzmy wyróżnik trójmianu kwadratowego dla \(a=2\), \(b=10\), \(c=8\) \[\Delta=b^2-4ac=10^2-4\cdot 2\cdot 8=36>0\] Zatem miejsca zerowe funkcji \(f\) to: \[x_1={-b-\sqrt{\Delta}\over 2a}, \qquad x_2={-b+\sqrt{\Delta}\over 2a}\] \[x_1={-10-\sqrt{36}\over 2\cdot 2}, \qquad x_2={-10+\sqrt{36}\over 2\cdot 2}\] \[x_1=-4, \qquad x_2=-1\]
  2. \(f(x)= 2x^2-4x+1\)
    Ponieważ \(\Delta=(-4)^2-4\cdot2\cdot1=8>0\), a \(\sqrt{\Delta}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), dlatego miejsca zerowe funkcji \(f\) to: \[x_1={4-2\sqrt{2}\over 4},\qquad x_2={4+2\sqrt{2}\over 4}\] \[x_1={2\left(2-\sqrt{2}\right)\over 4},\qquad x_2={2\left(2+\sqrt{2}\right)\over 4}\] \[x_1={2-\sqrt{2}\over 2},\qquad x_2={2+\sqrt{2}\over 2}\]
  3. \(f(x)= x^2-4x+4\)
    Ponieważ \(\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0\), dlatego funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe \[x_0={4\over 2}=2\]
  4. \(f(x)= 3x^2+6x+3\)
    Ponieważ \(\Delta=6^2-4\cdot3\cdot3=0\), dlatego funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe \[x_0={-6\over 6}=-1\]
  5. \(f(x)= 3x^2-x+5\)
    Ponieważ \(\Delta=(-1)^2-4\cdot3\cdot5=-59<0\), dlatego funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych.