Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[\eqalign{ {4^{-1}-3\cdot \left({2\over 3}\right)^{-2}\over 5-\left({1\over 2}\right)^{-1}} &= {{1\over 4}-3\cdot \left({3\over 2}\right)^2\over 5-2} {} = {{1\over 4}-3\cdot {9\over 4}\over 3} {} = {{1\over 4}-{27\over 4}\over 3}=\cr &={-{26\over 4}\over 3} = -{13\over 2}\cdot {1\over 3} = -{13\over 6}\cr}\]

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[\eqalignno{\left[4^{-{1\over 4}}+\left({1\over 2^{-{3\over 2}}}\right)^{-{4\over 3}}\right] &\cdot \left[4^{-0,25}-\left(2\sqrt{2}\right)^{-{4\over 3}}\right]=\cr &=\left[4^{-{1\over 4}}+\left(2^{{3\over 2}}\right)^{-{4\over 3}}\right] \cdot \left[4^{-{1\over 4}}-\left(2\cdot 2^{1\over 2}\right)^{-{4\over 3}}\right]=\cr &= \left[4^{-{1\over 4}}+\left(2^{{3\over 2}}\right)^{-{4\over 3}}\right] \cdot \left[4^{-{1\over 4}}-\left(2^{{3\over 2}}\right)^{-{4\over 3}}\right]= \cr &= \left[4^{-{1\over 4}}+2^{-2}\right] \cdot \left[4^{-{1\over 4}}-2^{-2}\right]=\cr &=\left(4^{-{1\over 4}}\right)^2-\ccancel{\czerwony} {4^{-{1\over 4}}\cdot 2^{-2}} +\ccancel{\czerwony}{2^{-2}\cdot 4^{-{1\over 4}}}-\left(2^{-2}\right)^2= \cr &= 4^{-{1\over 2}}-2^{-4}={1\over \sqrt{4}}-{1\over 2^4}={1\over 2}-{1\over 16}={7\over 16}\cr} \]

Przekształcimy liczby \(a\) i \(b\) do najprostszej postaci \[ \eqalign{a&=\left(16\cdot 0,25^{3n-2}\right):\left(-0,5\cdot 0,25^{3n-4}\right)= \left[16\cdot \left({1\over 4}\right)^{3n-2}\right]:\left[-{1\over 2}\cdot \left({1\over 4}\right)^{3n-4}\right]=\cr &= {2^4\cdot \left({1\over 4}\right)^{3n-2}\over -2^{-1}\cdot \left({1\over 4}\right)^{3n-4}}= {2^4\over {-2^{-1}}}\cdot {{\left({1\over 4}\right)^{3n-2}}\over {\left({1\over 4}\right)^{3n-4}}}= -2^{4-(-1)}\cdot \left({1\over 4}\right)^{3n-2-(3n-4)}=\cr & =-2^{5}\cdot \left({1\over 4}\right)^2=-32\cdot {1\over16}=-2\cr \cr b&=81\cdot \left({2\over 3}\right)^{12-4n}\cdot 3\cdot \left({2\over 3}\right)^{4n-7}= 3^5\cdot \left({2\over 3}\right)^{12-4n+4n-7}=3^5\cdot \left({2\over 3}\right)^{5}=\cr &=3^5\cdot {2^5\over 3^5}=2^5=32\cr} \] Zatem liczba \(b\) jest większa o 34 od liczby \(a\).

Przekształcimy liczby \(a\) i \(b\) do najprostszej postaci \[\eqalign{a&=\left[27\cdot \left({1\over3}\right)^{5m-1}\right]:\left[0,5\cdot \left({1\over3}\right)^{5m-3}\right]= {27\cdot \left({1\over3}\right)^{5m-1}\over {1\over 2}\cdot \left({1\over3}\right)^{5m-3}}= {27\over {1\over 2}}\cdot {{\left({1\over3}\right)^{5m-1}}\over {\left({1\over3}\right)^{5m-3}}}=\cr &= 54\cdot \left({1\over3}\right)^{5m-1-(5m-3)}=54\cdot \left({1\over3}\right)^2={54\over 9}=6\cr \cr b&=\left(-4\cdot 0,5^{2n-7}\right)\cdot \left(12\cdot 0,5^{10-2n}\right)= -4\cdot {1\over 2^{2n-7}}\cdot 12\cdot {1\over 2^{10-2n}}=\cr &=-48\cdot {1\over 2^{2n-7}}\cdot {1\over 2^{10-2n}}=-48\cdot {1\over 2^{2n-7+10-2n}}= -48\cdot {1\over 2^3}=-6\cr} \] Zatem liczba \(a\) jest większa o 12 od liczby \(b\).

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[ \eqalign{\left(2a^2b^3c\right)^6\cdot \left(-ab^2c^2d\right)^4 &=2^6\cdot \left(a^2\right)^6\cdot\left(b^3\right)^6\cdot c^6\cdot \left(-a\right)^4\cdot\left(b^2\right)^4\cdot\left(c^2\right)^4\cdot d^4=\cr & =64\cdot a^{12}\cdot b^{18}\cdot c^6\cdot a^4\cdot b^8\cdot c^8\cdot d^4=64a^{16}b^{26}c^{14}d^4\cr }\]

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[ \eqalign{\left(2xy^2\right)^2\cdot \left(-3x^2y^4z^5\right)^3:\left(-3x^2yz\right)^3 & =2^2x^2y^4\cdot \left({\cancel{-3}{\ccancel{\czerwony}{x^2}}{\gcancel{\zielony}{y^3}{y^4}}\gcancel{\niebieski}{z^4}{z^5}\over \cancel{-3}\ccancel{\czerwony}{x^2} \ccancel{\zielony}{y}\ccancel{\niebieski}{z}}\right)^3=\cr & =2^2x^2y^4\cdot \left(y^3z^{4}\right)^3= 2^2x^2y^4\cdot y^9z^{12}=4x^2y^{13}z^{12} \cr}\]

Wyrażenie \(\displaystyle 5^{n+1}+5^{n-2}\) zazwyczaj upraszczamy w następujący sposób: \[ \eqalign{5^{n+1}+5^{n-2} &=5^n\cdot 5^1+5^n\cdot 5^{-2}=5^n\cdot 5+5^n\cdot {1\over 5^2}= 5^n\left(5+{1\over 5^2}\right)=\cr &=5^n\cdot {126\over 5^2} =126\cdot 5^{n-2} \cr}\] Jest także szybszy sposób: \[5^{n+1}+5^{n-2}=5^{n-2}\cdot 5^3+5^{n-2}=5^{n-2}\left(5^3+1\right)=126\cdot 5^{n-2}\]

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[ \eqalign{{2^{n+2}+2^{n-3}\over 2^{n+1} -2^{n}}&={2^n\cdot 2^2+2^n\cdot 2^{-3}\over 2^n\cdot 2^1 -2^{n}}={2^n\cdot 4+2^n\cdot {1\over 8}\over 2^n\cdot 2 -2^{n}}=\frac{\ccancel{\czerwony}{2^n}\left( 4+{1\over 8}\right)}{\ccancel{\czerwony}{2^n}(2-1)}=\cr &= 4+{1\over 8}={33\over 8} \cr} \]

Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy \[ \eqalignno{ {3^{2n-1}+9^{n-2}\over 4^{n+2} -4^{n-1}}&={3^{2n}\cdot 3^{-1}+9^n\cdot 9^{-2} \over 4^n\cdot4^2 - 4^n\cdot 4^{-1} }={9^n\cdot {1\over 3} +9^n\cdot {1\over 81} \over 4^n\cdot16 - 4^n\cdot {1\over 4} }=\cr & ={9^n\left( {1\over 3} +{1\over 81}\right) \over 4^n\left( 16 - {1\over 4}\right) }={9^n\cdot {28\over 81} \over 4^n\cdot{63\over 4} }={9^n \over 4^n}\cdot {{28\over 81} \over {63\over 4} }= {112\over 5103}\left({9\over 4}\right)^n \cr } \]

Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy \[\sqrt{9a^2}=\sqrt{9}\sqrt{a^2}\] Ponieważ dla \(a\in\mathbb{R}\) mamy \(\sqrt{a^2}=\vert a\vert\), to \[\sqrt{9a^2}=\sqrt{9}\sqrt{a^2}=3\vert a\vert\]

Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy \[\sqrt{16x^2y^4}=\sqrt{16}\sqrt{x^2}\sqrt{y^4}\] Ponieważ dla \(y\in\mathbb{R}\) mamy \(\sqrt{y^4}=\vert y^2\vert=y^2\), to \[\sqrt{16x^2y^4}=\sqrt{16}\sqrt{x^2}\sqrt{y^4}=4\vert x\vert y^2\]

Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy \[\sqrt[4]{16x^4y^8}=\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{x^4}\sqrt[4]{y^8}\] Ponieważ dla \(y\in\mathbb{R}\) mamy \(\sqrt[4]{y^8}=\sqrt[4]{{\left(y^2\right)}^4}=\vert y^2\vert=y^2\), to \[\sqrt[4]{16x^4y^8}=\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{x^4}\sqrt[4]{y^8}=2\vert x\vert y^2\]