Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb

Własność
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,a,b, gdzie a,b>0, oraz dla liczb naturalnych m,n większych od 1 zachodzą wzory:

  1. ax⋅ay=ax+y

  2. axay=ax−y

  3. (ax)y=ax⋅y

  4. (a⋅b)x=ax⋅bx

  5. (ab)x=axbx

  6. a−x=1ax

  7. amn=n√am

  8. n√a⋅b=n√a⋅n√b

  9. n√ab=n√an√b

  10. m√n√a=m⋅n√a

  11. m√an=(m√a)n

Uwaga
Dla parzystej liczby naturalnej n oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość n√an=|a| W szczególności dla n=2 mamy √a2=|a|
Uwaga
Dla nieparzystej liczby naturalnej n (n>1) oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi równość n√an=a
Zadanie
Oblicz:
  1. 4−1−3⋅(23)−25−(12)−1
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy 4−1−3⋅(23)−25−(12)−1=14−3⋅(32)25−2=14−3⋅943=14−2743==−2643=−132⋅13=−136
  2. [4−14+(12−32)−43]⋅[4−0,25−(2√2)−43]
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy [4−14+(12−32)−43]⋅[4−0,25−(2√2)−43]==[4−14+(232)−43]⋅[4−14−(2⋅212)−43]==[4−14+(232)−43]⋅[4−14−(232)−43]==[4−14+2−2]⋅[4−14−2−2]==(4−14)2−4−14⋅2−2+2−2⋅4−14−(2−2)2==4−12−2−4=1√4−124=12−116=716
Zadanie
Sprawdź, która z liczb a i b jest większa i o ile, jeżeli:
  1. a=(16⋅0,253n−2):(−0,5⋅0,253n−4), b=81⋅(23)12−4n⋅3⋅(23)4n−7, n∈N
    Przekształcimy liczby a i b do najprostszej postaci a=(16⋅0,253n−2):(−0,5⋅0,253n−4)=[16⋅(14)3n−2]:[−12⋅(14)3n−4]==24⋅(14)3n−2−2−1⋅(14)3n−4=24−2−1⋅(14)3n−2(14)3n−4=−24−(−1)⋅(14)3n−2−(3n−4)==−25⋅(14)2=−32⋅116=−2b=81⋅(23)12−4n⋅3⋅(23)4n−7=35⋅(23)12−4n+4n−7=35⋅(23)5==35⋅2535=25=32 Zatem liczba b jest większa o 34 od liczby a.
  2. a=[27⋅(13)5m−1]:[0,5⋅(13)5m−3], b=(−4⋅0,52n−7)⋅(12⋅0,510−2n), m,n∈N
    Przekształcimy liczby a i b do najprostszej postaci a=[27⋅(13)5m−1]:[0,5⋅(13)5m−3]=27⋅(13)5m−112⋅(13)5m−3=2712⋅(13)5m−1(13)5m−3==54⋅(13)5m−1−(5m−3)=54⋅(13)2=549=6b=(−4⋅0,52n−7)⋅(12⋅0,510−2n)=−4⋅122n−7⋅12⋅1210−2n==−48⋅122n−7⋅1210−2n=−48⋅122n−7+10−2n=−48⋅123=−6 Zatem liczba a jest większa o 12 od liczby b.
Zastosujemy własności działań na potęgach i pierwiastkach do przekształcania wyrażeń algebraicznych.
Zadanie
Wykonaj działania:
  1. (2a2b3c)6⋅(−ab2c2d)4
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy (2a2b3c)6⋅(−ab2c2d)4=26⋅(a2)6⋅(b3)6⋅c6⋅(−a)4⋅(b2)4⋅(c2)4⋅d4==64⋅a12⋅b18⋅c6⋅a4⋅b8⋅c8⋅d4=64a16b26c14d4
  2. (2xy2)2⋅(−3x2y4z5)3:(−3x2yz)3
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy (2xy2)2⋅(−3x2y4z5)3:(−3x2yz)3=22x2y4⋅(−3x2y3y4z4z5−3x2yz)3==22x2y4⋅(y3z4)3=22x2y4⋅y9z12=4x2y13z12
Zadanie
Uprość wyrażenia algebraiczne:
  1. 5n+1+5n−2
    Wyrażenie 5n+1+5n−2 zazwyczaj upraszczamy w następujący sposób: 5n+1+5n−2=5n⋅51+5n⋅5−2=5n⋅5+5n⋅152=5n(5+152)==5n⋅12652=126⋅5n−2 Jest także szybszy sposób: 5n+1+5n−2=5n−2⋅53+5n−2=5n−2(53+1)=126⋅5n−2
  2. 2n+2+2n−32n+1−2n
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy 2n+2+2n−32n+1−2n=2n⋅22+2n⋅2−32n⋅21−2n=2n⋅4+2n⋅182n⋅2−2n=2n(4+18)2n(2−1)==4+18=338
  3. 32n−1+9n−24n+2−4n−1
    Korzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy 32n−1+9n−24n+2−4n−1=32n⋅3−1+9n⋅9−24n⋅42−4n⋅4−1=9n⋅13+9n⋅1814n⋅16−4n⋅14==9n(13+181)4n(16−14)=9n⋅28814n⋅634=9n4n⋅2881634=1125103(94)n
Zadanie
Wykonaj działania:
  1. √9a2
    Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy √9a2=√9√a2 Ponieważ dla a∈R mamy √a2=|a|, to √9a2=√9√a2=3|a|
  2. √16x2y4
    Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy √16x2y4=√16√x2√y4 Ponieważ dla y∈R mamy √y4=|y2|=y2, to √16x2y4=√16√x2√y4=4|x|y2
  3. 4√16x4y8
    Korzystamy z własności działań na pierwiastkach i otrzymujemy 4√16x4y8=4√164√x44√y8 Ponieważ dla y∈R mamy 4√y8=4√(y2)4=|y2|=y2, to 4√16x4y8=4√164√x44√y8=2|x|y2