Podstawowe pojęcia z zakresu logiki matematycznej:

• Zdanie w logice to wypowiedź oznajmująca i sensowna, czyli taka, której w ramach danej nauki można przypisać ocenę prawdziwości \((1)\) albo fałszu \((0)\) i tylko jedną z tych dwóch ocen. Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu, np. \(p\), \(q\), \(r\).
  Zmienna zdaniowa to litera, która może oznaczać dowolne zdanie (z zakresu danej nauki).

• Zaprzeczenie zdania \(p\) to zdanie \(\sim\! p\), co czytamy: nieprawda, że \(p\). Wartości logiczne negacji znajdują są w tabelce

  \( p\)	\( \sim p\)
  1	0
  0	1

• Alternatywa zdań \(p\) i \(q\) to zdanie \(p\:{ \vee}\: q\), co czytamy: \(p\) lub \(q\). Wartości logiczne alternatywy znajdują się w tabelce

  \( p\)	\( q\)	\( p\; { \vee}\: q\)
  1	1	1
  1	0	1
  0	1	1
  0	0	0

• Koniunkcja zdań \(p\) i \(q\) to zdanie \(p\:{ \wedge}\: q\), co czytamy: \(p\) i \(q\). Wartości logiczne koniunkcji znajdują się w tabelce

  \( p\)	\( q\)	\( p\;{ \wedge}\; q\)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	0
  0	0	0

• Implikacja zdań \(p\) i \(q\) to zdanie \(p\Rightarrow q\), co czytamy: \(p\) implikuje \(q\). Zdanie \(p\) jest poprzednikiem implikacji, a zdanie \(q\) jej następnikiem. Wartości logiczne implikacji znajdują się w tabelce

  \( p\)	\( q\)	\( p\;\Rightarrow\; q\)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	1
  0	0	1

• Równoważność zdań \(p\) i \(q\) to zdanie \(p\Longleftrightarrow q\), co czytamy: \(p\) jest równoważne \(q\). Wartości logiczne równoważności znajdują się w tabelce

  \( p\)	\( q\)	\( p\;\Longleftrightarrow\; q\)
  1	1	1
  1	0	0
  0	1	0
  0	0	1

Prawem rachunku zdań (tautologią) jest wyrażenie, które staje się zdaniem prawdziwym, gdy w miejsca zmiennych zdaniowych podstawimy dowolne zdania. Najczęściej wykorzystywane tautologie:

• prawo kontrapozycji \(p\Rightarrow q \Longleftrightarrow (\sim q \Rightarrow \:\sim p)\)
• prawo zaprzeczenia implikacji \(\sim (p\Rightarrow q) \Longleftrightarrow \big[\:p\:{ \wedge}\: (\sim q)\big]\)
• prawo zaprzeczenia alternatywy \(\sim (p\:{ \vee}\: q) \Longleftrightarrow \big[(\sim p )\:{ \wedge}\: (\sim q)\big]\)
• prawo zaprzeczenia koniunkcji \(\sim (p\:{ \wedge}\: q) \Longleftrightarrow \big[(\sim p )\:{ \vee} \:(\sim q)\big]\)

Twierdzenie to każde zdanie mające postać implikacji \[ Z \Rightarrow T ,\] której poprzednik \((Z)\) to założenie, a następnik \((T)\) to teza twierdzenia.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia \(Z \Rightarrow T\) to twierdzenie \( T \Rightarrow Z \).

Zdanie \(p\) jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla zdania \(q\), jeżeli ze zdania \(p\) wynika zdanie \(q\) (\(p\Rightarrow q\)).

Zdanie \(q\) jest warunkiem koniecznym dla zdania \(p\), jeżeli ze zdania \(p\) wynika zdanie \(q\) (\(p\Rightarrow q\)).

Zdanie \(p\) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla zdania \(q\), jeżeli zdanie \(p\) jest równoważne ze zdaniem \(q\) (\(p\Leftrightarrow q\)).

Każde równanie i nierówność to tzw. forma zdaniowa określona w zbiorze \(X\), czyli wyrażenie \(\varphi (x)\), które staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej \(x\) wstawimy dowolny element ze zbioru \(X\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną formy zdaniowej. Mówimy, że element należący do dziedziny spełnia formę zdaniową, jeżeli podstawiony do niej daje zdanie prawdziwe. Forma zdaniowa może być:

• tożsamościowa, jeżeli spełnia ją każdy element jej dziedziny,
• sprzeczna, jeżeli nie spełnia jej żaden element dziedziny tej formy.

Mówimy, że formy zdaniowe \(p(x)\) i \(q(x)\) są sobie równoważne, jeżeli każdy element spełniający formę \(p(x)\) spełnia także formę \(q(x)\) i odwrotnie.

Kwantyfikatory:

• kwantyfikator ogólny to wyrażenie „dla każdego \(x\)”, które oznaczamy symbolem \[ \bigwedge_{x} \quad \hbox{lub} \quad \forall_{x} \]

• kwantyfikator szczególny to wyrażenie „istnieje \(x\) takie, że”, które oznaczamy symbolem \[ \bigvee_{x} \quad \hbox{lub} \quad \exists_{x} \]