Działania na wielomianach
Zaczniemy od definicji wielomianu stopnia \(n\), którego szczególnymi przypadkami są wcześniej omawiane funkcje liniowe i kwadratowe.
Wielomianem rzeczywistym stopnia \(n\) \((n\in \mathbb{N}\cup\{0\})\) nazywamy funkcję
\(W:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) określoną za pomocą wzoru
\[W(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0,\]
gdzie \(a_k \in \mathbb{R}\) dla \(0\leq k \leq n\) oraz \(a_n\not=0\). Liczby \(a_k\) nazywamy współczynnikami wielomianu \(W(x)\), przy czym \(a_0\) nazywamy również wyrazem wolnym wielomianu.
W szczególności dla:
- \(n=0\) otrzymujemy funkcję stałą \(y=a\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\), która jest wielomianem stopnia \(\boldsymbol {0}\), gdy \(a\neq 0\) albo wielomianem zerowym, gdy \(a=0\);
- \(n=1\) otrzymujemy funkcję liniową \(y=ax+b\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\), \(b\in\mathbb{R}\), która jest wielomianem stopnia \(\boldsymbol {1}\) (dwumianem, gdy \(b\neq 0\));
- \(n=2\) otrzymujemy funkcję kwadratową \(y=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\), \(b,c\in\mathbb{R}\), która jest wielomianem stopnia \(\boldsymbol {2}\) (trójmianem kwadratowym, gdy \(b\neq 0\) i \(c\neq 0\)).
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów niczym nie różni się od takich działań wykonywanych na wyrażeniach algebraicznych, dlatego przypomnimy je tylko w jednym przykładzie. Więcej uwagi poświęcimy dzieleniu wielomianów, gdyż jest ono bardziej skomplikowanym działaniem.
Przykład
Dla wielomianów \(W(x)=x^3-2x^2+3\) i \(Q(x)=5x^4+3x^2-1\) wykonamy działania:
\[\eqalign{W(x)+2Q(x)&=\left(x^3-2x^2+3\right)+2\left(5x^4+3x^2-1\right)=\cr &=x^3-2x^2+3+10x^4+6x^2-2= 10x^4+x^3+4x^2+1 \cr}\]
\[\eqalign{W(x)\cdot Q(x)&=\left(x^3-2x^2+3\right)\cdot \left(5x^4+3x^2-1\right)=\cr & =5x^7+3x^5-x^3-10x^6-6x^4+2x^2+15x^4+9x^2-3=\cr & =5x^7-10x^6+3x^5+9x^4-x^3+11x^2-3 \cr} \]
Zanim przystąpimy do dzielenia wielomianów, zdefiniujemy iloraz i resztę z dzielenia wielomianów.
Mówimy, że wielomian \(I(x)\) jest ilorazem, a wielomian \(R(x)\) resztą z dzielenia wielomianu \(L(x)\) przez wielomian \(M(x)\), jeżeli dla każdego \(x\in \mathbb{R}\) spełniony jest warunek \[ L(x) = M(x) \cdot I(x) + R(x)\] oraz stopień reszty \(R(x)\) jest mniejszy od stopnia dzielnika \(M(x)\). Jeżeli \(R(x)\equiv 0\), to mówimy, że wielomian \(L(x)\) jest podzielny przez wielomian \(M(x)\). Powyższy warunek przy założeniu, że \(M(x)\neq 0\), można też zapisać w postaci \[ {L(x) \over M(x)} = I(x) + {R(x) \over M(x)} \]
Dzielenie pisemne wielomianów \(L(x):M(x)\) wykonujemy analogicznie jak dzielenie pisemne liczb całkowitych.
Przykład
Podzielimy wielomiany \(\left(2x^3+x^4-4x^2+2+x\right):\left(x-1\right)\). Zaczynamy od uporządkowania wielomianów, jeżeli jest to konieczne, czyli \[ \begin{matrix} \left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)\ :\;(x-1) \end{matrix}\] Następnie dzielimy składnik dzielnej o najwyższym stopniu przez składnik dzielnika o najwyższym stopniu, czyli \(x^4:x=x^3\). Wynik tego dzielenia zapisujemy nad kreską, gdzie wpisywać będziemy wszystkie składniki ilorazu \[ \begin{matrix} \ \ {\czerwony{\boldsymbol{x^3}}}\hfill & \\
\overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)}\ :\; (x-1) \end{matrix}\] Mnożymy \(x^3\) przez dzielnik, a otrzymany wielomian \(x^4-x^3\) z przeciwnymi znakami, tzn. \(-x^4+x^3\), zapisujemy pod dzielną \[ \begin{matrix} \ \ \ \; x^3\hfill & \\ \
\; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right) }\ :\; (x-1) \\ {\;\czerwony{\boldsymbol{-x^4+x^3}}}\hfill & \end{matrix} \] Następnie dodajemy wielomian \(-x^4+x^3\) do dzielnej i zapisujemy sumę pod kolejną kreską \[ \begin{matrix} \ \ \ \; x^3\hfill
& \\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)}\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad{\czerwony{\boldsymbol{3x^3-4x^2+x+2}}}} \hfill & \end{matrix} \] Otrzymaliśmy wielomian \(3x^3-4x^2+x+2\), który traktujemy teraz
jak dzielną, i powtarzamy powyższe czynności, czyli dzielimy \(3x^3\) przez \(x\), a otrzymany iloraz \(3x^2\) wpisujemy jako kolejny składnik ilorazu, tj. nad pierwszą kreską \[ \begin{matrix} \ \ \ \; x^3+{\czerwony{\boldsymbol{3x^2}}}\hfill &
\\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)}\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad 3x^3-4x^2+x+2} \hfill & \end{matrix} \] Mnożymy wielomian \(x-1\) przez \(3x^2\), a otrzymany wielomian \(3x^3-3x^2\) z przeciwnymi
znakami wpisujemy pod wielomianem \(3x^3-4x^2+x+2\) \[ \begin{matrix} \ \ \ \; x^3+3x^2\hfill & \\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right) }\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad 3x^3-4x^2+x+2} \hfill & \\
\ \quad\quad\ {\czerwony{\boldsymbol{-3x^3+3x^2}}} \hfill & \end{matrix} \] Dodajemy do siebie dwa ostanie wielomiany i zapisujemy sumę pod następną kreską \[ \begin{matrix} \ \ \ \; x^3+3x^2\hfill & \\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)
}\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad 3x^3-4x^2+x+2} \hfill & \\ \ \quad\ \ \ -3x^3+3x^2 \hfill & \\ \qquad\overline{\quad\quad\ {\czerwony{\boldsymbol{-x^2+x+2}}}} \hfill & \end{matrix} \] I znowu powtarzamy
powyższe czynności. Dzielimy \(-x^2\) przez \(x\), a otrzymany wynik, czyli \(-x\), wpisujemy nad pierwszą kreską. Jednocześnie mnożymy wielomian \(x-1\) przez \(-x\) i z przeciwnym znakiem podpisujemy pod ostatnim wielomianem \[ \begin{matrix} \
\ \ \; x^3+3x^2\: {\czerwony{\boldsymbol{-\: x}}}\hfill & \\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right) }\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad 3x^3-4x^2+x+2} \hfill & \\ \ \quad\ \ \ -3x^3+3x^2 \hfill& \\ \qquad\quad
\overline{\quad\quad\ -x^2+x+2} \hfill & \\ \qquad\qquad\qquad \ \; {\czerwony{\boldsymbol{x^2-x}}}\hfill & \end{matrix} \] Po wykonaniu dodawania wielomianów \(-x^2+x+2\) oraz \(x^2-x\) otrzymujemy \[ \begin{matrix} \ \ \ \; \niebieski{\boldsymbol{x^3+3x^2-x}}\hfill
& \\ \ \; \overline{\left(x^4+2x^3-4x^2+x+2\right)}\ :\; (x-1) \\ \; -x^4+x^3\hfill & \\ \ \overline{\qquad\quad 3x^3-4x^2+x+2} \hfill & \\ \ \quad\ \ \ -3x^3+3x^2 \hfill & \\ \qquad\quad \overline{\quad\quad\ -x^2+x+2} \hfill &
\\ \qquad\qquad\qquad \ \; x^2-x\hfill & \\ \qquad \quad\quad \ \overline{\qquad\qquad\ \: {\czerwony{\boldsymbol{2}}}}=R(x) \end{matrix} \] Ponieważ otrzymany wielomian \(\czerwony{\boldsymbol{2}}\) ma stopień niższy od dzielnika \(x-1\), więc jest on resztą z dzielenia
wielomianu \(x^4+2x^3-4x^2+x+2\) przez \(x-1\), a wielomian otrzymany nad kreską \(\niebieski{\boldsymbol{x^3+3x^2-x}}\) jest ilorazem tego dzielenia. Zatem możemy zapisać \[ x^4+2x^3-4x^2+x+2=\left(x-1\right)\left(\niebieski{\boldsymbol{x^3+3x^2-x}}\right)+\czerwony{\boldsymbol{2}} \] lub równoważnie przy założeniu, że
\(x-1\neq 0\) \[ {x^4+2x^3-4x^2+x+2 \over x-1}=\niebieski{\boldsymbol{x^3+3x^2-x}}+{\czerwony{\boldsymbol{2}} \over x-1} \]
Zadanie
Podziel wielomiany:
-
\(\left(2x^3+x^2-3\right):\left(x+3\right)\)Wielomiany \(2x^3+x^2-3\) oraz \(x+3\) są uporządkowane, więc dzielimy je pisemnie jak w poprzednim przykładzie \[ \begin{matrix} \ \ \ 2x^2-5x+15 \hfill & \\ \overline{\left(2x^3+x^2-3\right) }\ :\; \left(x+3\right) \\ \; -2x^3-6x^2 \hfill \\ \ \overline{\quad\quad \ -5x^2-3} \hfill \\ \quad\qquad \ \ \; 5x^2+15x \hfill \\ \qquad\quad \ \overline{\quad \qquad 15x-3} \hfill \\ \qquad\quad \; \qquad\: -15x-45 \hfill \\ \qquad \qquad \quad \ \overline{\quad\qquad -48 }=R(x) \end{matrix} \] Stąd mamy \[ 2x^3+x^2-3=\left(x+3\right)\left(2x^2-5x+15\right) -48 \] lub przy założeniu, że \(x+3\neq0\) \[ {2x^3+x^2-3\over x+3}=2x^2-5x+15 -{48\over x+3} \]
-
\(\left(x^6-x^5-x^4+2x^3+4x^2-3x+1\right):\left(x^2-3x+2\right)\)Wielomiany są uporządkowane, więc dzielimy je pisemnie \[ \begin{matrix} \ \ \ x^4+2x^3+3x^2+7x+19\hfill \\ \overline{\ \ \left(x^6-x^5-x^4+2x^3+4x^2-3x+1\right) }\ :\; \left(x^2-3x+2\right) \\ \; -x^6+3x^5-2x^4\hfill \\ \overline{\ \quad\quad 2x^5-3x^4+2x^3+4x^2-3x+1} \hfill \\ \quad\ -2x^5+6x^4-4x^3 \hfill \\ \ \quad \overline{\ \qquad\quad \ 3x^4-2x^3+4x^2-3x+1} \hfill \\ \qquad\quad \quad -3x^4+9x^3-6x^2\hfill \\ \ \qquad \quad \quad\ \overline{\qquad\quad 7x^3-2x^2-3x+1} \hfill \\ \qquad\quad \quad \quad \quad\ \: -7x^3+21x^2-14x\hfill \\ \quad \qquad\qquad\quad\ \ \overline{ \qquad\quad 19x^2-17x+1} \hfill \\ \qquad\qquad\qquad \quad \quad\ -19x^2+57x-38\hfill \\ \quad \qquad\quad \ \overline{\qquad\quad\ \: 40x-37}=R(x) \end{matrix} \] Zatem \[ \eqalign{ x^6-& x^5-x^4+2x^3+4x^2-3x+1=\cr &=\left(x^2-3x+2\right)(x^4+2x^3+3x^2+7x+19) + 40x-37 \cr } \] lub przy założenu, że \(x^2-3x+2\neq0\) \[ \eqalign{ {x^6-x^5-x^4+2x^3+4x^2-3x+1\over x^2-3x+2}&=\cr =x^4+2x^3+3x^2+7x+19 &+ {40x-37\over x^2-3x+2}\cr } \]
-
\(\left(x^5-4x^4+3x^3-8x^2+2x\right): \left(x^3+2x\right)\)Dzielimy pisemnie wielomiany \[ \begin{matrix} \ \ \ x^2-4x+1\hfill \\ \overline{\ \ \left(x^5-4x^4+3x^3-8x^2+2x\right) }\ :\; \left(x^3+2x\right) \\ \; -x^5-2x^3\hfill \\ \overline{\ \ \; \quad\quad -4x^4+x^3-8x^2+2x} \hfill \\ \qquad\quad\ \ \ \; 4x^4+8x^2 \hfill \\ \quad \qquad \overline{\qquad \qquad \quad \ \quad x^3+2x}\hfill \\ \qquad\qquad\quad \quad \quad \quad \ -x^3-2x\hfill \\ \qquad\qquad\ \overline{\quad\quad \quad\quad 0} = R(x) \end{matrix} \] Ponieważ reszta z dzielenia \(R(x)\equiv 0\), więc wielomian \(x^5-4x^4+3x^3-8x^2+2x\) jest podzielny przez wielomian \(x^3+2x\), czyli \[ x^5-4x^4+3x^3-8x^2+2x = \left(x^3+2x\right)\left(x^2-4x-1\right) \] lub przy założeniu, że \(x^3+2x\neq0\) \[ {x^5-4x^4+3x^3-8x^2+2x \over x^3+2x}=x^2-4x-1 \]
Schemat Hornera służy do dzielenia dowolnego wielomianu przez wielomian w postaci \(x-a\), gdzie \(a\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\). Omówimy go na konkretnych przykładach.
Przykład
Korzystając ze schematu Hornera, podzielimy wielomiany \(\left(-8x^2+3x^4+x^3+3x-1\right):(x-2)\). Załóżmy, że \(x\neq 2\), i uporządkujmy wielomiany. Współczynniki wielomianu \(3x^4+x^3-8x^2+3x-1\) wpisujemy do tabelki w następujący sposób:
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(\czerwony{\boldsymbol{2}}\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(\czerwony{\boldsymbol{2}}\) | \(\zielony{\boldsymbol{3}}\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(\niebieski{\boldsymbol{1}}\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(\czerwony{\boldsymbol{2}}\) | \(\zielony{\boldsymbol{3}}\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(\niebieski{\boldsymbol{-8}}\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(\czerwony{\boldsymbol{2}}\) | \(3\) | \(\zielony{\boldsymbol{7}}\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(2\) | \(3\) | \(7\) | \(6\) | \(15\) | \(29\) |
| \(x^4\) | \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(3\) | \(1\) | \(-8\) | \(3\) | \(-1\) | |
| \(2\) | \(3\) | \(7\) | \(6\) | \(15\) | \(29\) |
| \(x^3\) | \(x^2\) | \(x\) | \(1\) | \(R(x)\) |
Korzystając ze schematu Hornera, podziel wielomiany:
-
\(\left(2x^3+5x^2+7x+3\right):(x+1)\)Załóżmy, że \(x\neq -1\). Wielomiany są uporządkowane, więc korzystamy ze schematu Hornera dla \(a=-1\).
Zatem \[ {2x^3+5x^2+7x+3\over x+1}=2x^2+3x+4 + {- 1\over x+1} \quad \hbox{dla}\quad x\neq-1 \]\(x^3\) \(x^2\) \(x\) \(1\) \(\boldsymbol{\zielony{2}}\) \(\boldsymbol{\niebieski{5}}\) \(\boldsymbol{\color{#CB4D00}{7}}\) \(\boldsymbol{\color{#9953DE}{3}}\) \(\boldsymbol{\czerwony{-1}}\) \(\boldsymbol{\zielony{2}}\) \(\boldsymbol{\underbrace{{\czerwony{-1}}\cdot{\zielony{2}}+\niebieski{5}}_{\displaystyle\color{purple}{3}}}\) \(\boldsymbol{\underbrace{{\czerwony{-1}}\cdot{\fioletowy{3}}+\color{#CB4D00}{7}}_{\displaystyle\color{#747373}{4}}}\) \(\boldsymbol{\underbrace{{\czerwony{-1}}\cdot{\color{#747373}{4}}+\color{#9953DE}{3}}_{\displaystyle -1}}\) \(x^2\) \(x\) \(1\) \(R(x)\) -
\(\left(x^5-2x^4-3x^2+1\right):(x-3)\)Załóżmy, że \(x\neq 3\). Wielomiany są uporządkowane. Należy jednak zwrócić uwagę na to, że dzielna nie zawiera składnika stopnia trzeciego ani pierwszego, tzn. współczynniki przy \(x^3\) i \(x\) są zerami. Korzystamy ze schematu Hornera dla \(a=3\).
Zatem \[ {x^5-2x^4-3x^2+1\over x-3}=x^4+x^3+3x^2+6x+18 + {55\over x-3} \quad \hbox{dla}\quad x\neq3 \]\(x^5\) \(x^4\) \(x^3\) \(x^2\) \(x\) \(1\) \(1\) \(-2\) \(\czerwony{\boldsymbol 0}\) \(-3\) \(\czerwony{\boldsymbol 0}\) \(1\) \(3\) \(1\) \(1\) \(3\) \(6\) \(18\) \(55\) \(x^4\) \(x^3\) \(x^2\) \(x\) \(1\) \(R(x)\) -
\(\left(x^5+4x^4-4x^2-15x+4\right):(x+4)\)Załóżmy, że \(x\neq-4\). Korzystamy ze schematu Hornera dla \(a=-4\). Znając dobrze algorytm tego schematu, możemy zapisać skróconą wersję tabelki. Składa się ona tylko z dwóch wierszy. W pierwszym wierszu znajdują się współczynniki dzielnej, a w drugim współczynniki ilorazu i reszta z dzielenia wielomianów.
Ponieważ \(R(x)=0\), więc wielomian \(x^5+4x^4-4x^2-15x+4\) jest podzielny przez wielomian \(x+4\), czyli \[ {x^5+4x^4-4x^2-15x+4\over x+4}=x^4-4x+1 \quad \hbox{dla}\quad x\neq-4 \]\(1\) \(4\) \(\czerwony{\boldsymbol 0}\) \(-4\) \(-15\) \(4\) \(-4\) \(1\) \(0\) \(0\) \(-4\) \(1\) \(0\) -
\(\left(2x^4-3x^3+4x^2-3x\right):(x-1)\)Załóżmy, że \(x\neq 1\). Korzystamy ze schematu Hornera dla \(a=1\).
Wielomian \(x-1\) dzieli bez reszty wielomian \(2x^4-3x^3+4x^2-3x\), czyli \[ {2x^4-3x^3+4x^2-3x\over x-1}=2x^3-x^2+3x \quad \hbox{dla}\quad x\neq1 \]\(2\) \(-3\) \(4\) \(-3\) \(\czerwony{\boldsymbol 0}\) \(1\) \(2\) \(-1\) \(3\) \(0\) \(0\)