Pierwiastki wielomianu
Liczbę \(x_0\in \mathbb{R}\) nazywamy pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli \[ W(x_0)=0 \]
Przykład
Sprawdzimy, czy liczby \(-2\) i \(1\) są pierwiastkami wielomianu \(W(x)=x^5+4x^4+4x^3-6x^2-24x-24\).Zgodnie z definicją pierwiastka wielomianu liczba \(-2\) będzie pierwiastkiem wielomianu, jeżeli \(W(-2)=0\) \[ \eqalignno{ W(-2)&=(-2)^5+4(-2)^4+4(-2)^3-6(-2)^2-24(-2)-24=\cr &=-32 + 64 - 32 - 24 + 48 - 24 = 0\cr} \] Zatem \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Podobnie sprawdzamy, czy liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) \[ W(1)=1+4+4-6-24-24=-45\neq 0 \] Ponieważ \(W(1)\neq 0\), dlatego \(1\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Poznamy teraz twierdzenie, które jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby liczba \(x_0\) była pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Zadanie
Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(Q(x)\), jeżeli:
-
\(W(x)=3x^6-7x^4-6x^3-7\), \(Q(x)=x-2\)Zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez dwumian \(x-2\), jeżeli liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu, tzn. gdy \(W(2)=0\) \[ W(2)=3\cdot 2^6-7\cdot 2^4-6\cdot 2^3 -7=192-112-48-7=25\neq 0 \] Zatem wielomian \(W(x)\) nie jest podzielny przez wielomian \(Q(x)\), a liczba \(2\) nie jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
-
\(W(x)=3x^{7}- x^{3}+ x^{2}+1\), \(Q(x)=x+1\)Zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x+1\), jeżeli \(W(-1)=0\) \[ W(-1)=3(-1)^{7}- (-1)^{3}+ (-1)^{2}+1=-3+1+1+1=0 \] Zatem wielomian \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez wielomian \(Q(x)\), a liczba \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Zdefiniujemy najpierw pierwiastek wielokrotny wielomianu, a następnie podamy twierdzenie ułatwiające wyznaczanie krotności takiego pierwiastka.
Dla liczby naturalnej \(k\) liczbę \(x_0\) nazywamy \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\), jeżeli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^k\) i nie jest podzielny przez wielomian \((x-x_0)^{k+1}\).
Twierdzenie
Niech \(k\in\mathbb{N}\). Wówczas liczba \(x_0\) jest \(k\)-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[ W(x) = (x-x_0)^k P(x) \quad \wedge \quad P(x_0)\not=0 \]
Przykład
Sprawdzimy, czy liczba \(2\) jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(W(x) = x^{4} - 9x ^{2} + 4x + 12\).Zaczniemy od ustalenia, czy liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) \[ W(2)=2^4-9\cdot 2^2+4\cdot 2 +12=16-36+8+12=0 \] Zatem liczba \(2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-2\). Podzielimy wielomiany, wykorzystując schemat Hornera.
| \(1\) | \(\czerwony{\boldsymbol 0}\) | \(-9\) | \(4\) | \(12\) | |
| \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(-5\) | \(-6\) | \(0\) |
| \(1\) | \(2\) | \(-5\) | \(-6\) | |
| \(2\) | \(1\) | \(4\) | \(3\) | \(0\) |
Twierdzenie
Każdy wielomian stopnia \(n\in \mathbb{N}\) ma co najwyżej \(n\) pierwiastków rzeczywistych.
Poniższe twierdzenie mówi nam, gdzie należy szukać pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Zadanie
Znajdź całkowite pierwiastki podanych wielomianów:
-
\(W(x)=x^4+5x-6\)Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z powyższym twierdzeniem całkowitych pierwiastków tego wielomianu szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(-6\) to: \[1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\] Po podstawieniu ich do wielomianu \(W(x)\) otrzymujemy: \[ \eqalign{&\zielony{\boldsymbol{W(1)=1+5-6=0}}\cr &W(-1)=1-5-6\neq 0\cr &W(2)=16+10-6\neq 0\cr &\zielony{\boldsymbol{W(-2)=16-10-6=0}}\cr &W(3)=81+15-6\neq 0\cr &W(-3)=81-15-6\neq 0\cr &W(6)=1296+30-6\neq 0\cr &W(-6)=1296-30-6\neq 0\cr } \] Zatem jedynymi pierwiastkami całkowitymi wielomianu \(W(x)\) są \(1\) i \(-2\).
-
\(W(x)=x^4+3x^3-2x^2-3\)Ponieważ współczynniki wielomianu \(W(x)\) są liczbami całkowitymi, to zgodnie z powyższym twierdzeniem całkowitych pierwiastków tego wielomianu szukamy wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielnikami liczby \(-3\) są: \[1, -1, 3, -3\] Po podstawieniu ich do wielomianu \(W(x)\) otrzymujemy: \[ \eqalign{&W(1)=1+3-2-3\neq 0\cr &W(-1)=1-3-2-3\neq 0\cr &W(3)=81+81-18-3\neq 0\cr &W(-3)=81-81-18-3\neq 0\cr } \] Zatem wielomian \(W(x)\) nie posiada pierwiastków całkowitych.
-
\(W(x)=x^3+5x^2+8x+4\)Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu \(W(x)\) to: \[1, -1, 2, -2, 4, -4\] Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianu \(W(x)\) są dodatnie, to żaden dodatni dzielnik nie zeruje wielomianu \(W(x)\). Sprawdzimy zatem tylko dzielniki ujemne: \[ \eqalign{&\zielony{\boldsymbol{W(-1)=-1+5-8+4 = 0}}\cr &\zielony{\boldsymbol{W(-2)=-8+20-16+4 = 0}}\cr &W(-4)=-64+80-32+4\neq 0\cr } \] Zatem pierwiastki całkowite wielomianu \(W(x)\) to \(-1\) i \(-2\).
Poniższe twierdzenie mówi nam, gdzie należy szukać pierwiastków wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
Jeżeli nieskracalny ułamek \(p\over q\), gdzie \(p,q\in\mathbb{Z}\) i \(q\neq 0\), jest pierwiastkiem wielomianu stopnia \(n\) \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\), a \(q\) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\).
Zadanie
Znajdź wymierne pierwiastki podanych wielomianów:
-
\(W(x)=2x^3-x^2+6x-3\)Zgodnie z powyższym twierdzeniem poszukiwany wymierny pierwiastek \(p\over q\) spełnia warunki: \(p\) dzieli \(a_0=-3\), a \(q\) dzieli \(a_3=2\). Dzielnikami wyrazu \(a_0\) są liczby: \(1\), \(-1\), \(3\), \(-3\), dzielnikami \(a_3\) są liczby: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\). Zatem pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogą być tylko liczby: \[1,-1,{1\over 2},-{1\over 2},3,-3, {3\over 2}, -{3\over 2}\] Sprawdzamy, że: \[ \eqalignno{&W(1)=2-1+6-3\neq 0\cr &W(-1)=-2-1-6-3\neq 0\cr &\zielony{\boldsymbol{W\left({1\over 2}\right)={1\over 4}-{1\over 4} +3-3=0}}\cr &W\left(-{1\over 2}\right)=-{1\over 4}-{1\over 4} -3-3\neq 0\cr &W(3)=54-9+18-3\neq 0\cr &W(-3)=-54-9-18-3\neq 0\cr &W\left({3\over 2}\right)={54\over 8}-{9\over 4} +9-3\neq 0\cr &W\left(-{3\over 2}\right)=-{54\over 8}-{9\over 4} -9-3\neq 0\cr } \] Jedynym pierwiastkiem wymiernym wielomianu \(W(x)\) jest więc liczba \({1\over 2}\).
-
\(W(x)=3x^3+2x^2+2x-1\)Skorzystamy z powyższego twierdzenia, aby znaleźć pierwiastki wymierne wielomianu \(W(x)\). Dzielnikami wyrazu \(a_0=1\) są liczby: \(1\), \(-1\), dzielnikami \(a_3=3\) są liczby: \(1\), \(-1\), \(3\), \(-3\). Zatem pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu mogą być tylko liczby: \[1,-1,{1\over 3},-{1\over 3}\] Sprawdzamy, że: \[ \eqalignno{&W(1)=3+2+2-1\neq 0\cr &W(-1)=-3+2-2-1\neq 0\cr &\zielony{\boldsymbol{W\left({1\over 3}\right)={1\over 9}+{2\over 9} +{2\over 3}-1=0}}\cr &W\left(-{1\over 3}\right)=-{1\over 9}+{2\over 9} -{2\over 3}-1\neq 0\cr } \] Jedynym pierwiastkiem wymiernym wielomianu \(W(x)\) jest więc liczba \({1\over 3}\).
-
\(W(x)=x^3-{1\over 2}x^2+{1\over 6}x+{1\over 3}\)Aby skorzystać z powyższego twierdzenia, rozważany wielomian musi mieć współczynniki całkowite. Zauważmy jednak, że \[ W(x)={1\over 6}\left( 6x^3 -3x^2 +x+2\right), \] więc pierwiastki wielomianu \(W(x)\) pokrywają się z pierwiastkami wielomianu \(Q(x)=6x^3 -3x^2 +x+2\).
Dla wielomianu \(Q(x)\) mamy \(a_0=2\) i \({a_3=6}\). Dzielniki wyrazu \(a_0\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), a wyrazu \(a_3\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\), \(3\), \(-3\), \(6\), \(-6\). Zatem pierwiastkami wymiernymi mogą być tylko liczby: \[1,-1, {1\over 2}, -{1\over 2}, {1\over 3},-{1\over 3}, {1\over 6}, -{1\over 6}, 2, -2,{2\over 3}, -{2\over 3}\] Po sprawdzeniu okazuje się, że wymiernym pierwiastkiem jest wyłącznie \(-{1\over 2}\).