Wzory redukcyjne

Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta skierowanego do obliczenia wartości funkcji dla kąta z przedziału \(\left<0,{\pi\over 2}\right>\). W poniższej tabeli przedstawione są zależności między funkcjami trygonometrycznymi dowolnego kąta \(\beta\) a funkcjami trygonometrycznymi odpowiadającego mu kąta \(\alpha\), leżącego w ćwiartce I układu.
Wzory redukcyjne
\(\beta\) \({\pi\over 2}-\alpha\) \({\pi\over 2}+\alpha\) \(\pi-\alpha\) \(\pi+\alpha\) \({3\over 2}\pi-\alpha\) \({3\over 2}\pi+\alpha\) \(2\pi-\alpha\)
\(\sin\beta\) \(\cos\alpha\) \(\cos\alpha\) \(\sin\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\sin\alpha\)
\(\cos\beta\) \(\sin\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\cos\alpha\) \(-\sin\alpha\) \(\sin\alpha\) \(\cos\alpha\)
\(\mathrm{tg}\, \beta\) \(\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(-\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(-\mathrm{tg}\, \alpha\) \(\mathrm{tg}\, \alpha\) \(\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(-\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(-\mathrm{tg}\, \alpha\)
\(\mathrm{ctg}\, \beta\) \(\mathrm{tg}\, \alpha\) \(-\mathrm{tg}\, \alpha\) \(-\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(\mathrm{tg}\, \alpha\) \(-\mathrm{tg}\, \alpha\) \(-\mathrm{ctg}\, \alpha\)
Wzorów redukcyjnych nie trzeba uczyć się na pamięć. Wystarczy zapamiętać następujące zasady z nich wynikające:
  1. Dla kąta \(\beta\) postaci \(\pi \pm \alpha\) lub \(2\pi - \alpha\) funkcja trygonometryczna nie zmienia się przy jego redukcji do kąta \(\alpha\).
  2. Dla kąta \(\beta\) postaci \({\pi\over 2} \pm \alpha\) lub \({3\over 2}\pi \pm \alpha\) funkcja trygonometryczna zmienia się na kofunkcję przy jego redukcji do kąta \(\alpha\), tzn. z sinusa przechodzi na cosinus, z tangensa na cotangens i na odwrót.
  3. Znak \(+\) lub \(-\) przed funkcją trygonometryczną kąta zredukowanego \(\alpha\) zależy od znaku wartości funkcji trygonometrycznej kąta \(\beta\).
Znaki wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych podane są w poniższej tabeli.
Tabela znaków wartości funkcji trygonometrycznych
\(\alpha\) ćw. I ćw. II ćw. III ćw. IV
\(\sin\alpha\) \(+\) \(+\) \(-\) \(-\)
\(\cos\alpha\) \(+\) \(-\) \(-\) \(+\)
\(\mathrm{tg}\, \alpha\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\)
\(\mathrm{ctg}\, \alpha\) \(+\) \(-\) \(+\) \(-\)

Zapamiętanie, gdzie funkcje trygonometryczne przyjmują wartości dodatnie, ułatwia wierszyk:

W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus,\(\qquad\qquad\) w trzeciej tangens i cotangens,\(\quad\!\) a w czwartej cosinus.\(\qquad\qquad\)
Przykład
Obliczymy \(\cos \left(\pi + {\pi\over 3}\right)\). Ponieważ kąt \(\pi + {\pi\over 3}\) leży w ćwiartce III, a cosinus w tej ćwiartce przyjmuje wartości ujemne, więc \(\cos \left(\pi + {\pi\over 3}\right)<0\) i przed funkcją trygonometryczną pojawi się znak \(\czerwony{\boldsymbol -}\). Dodatkowo funkcja trygonometryczna nie zmienia się z uwagi na przesunięcie kąta \({\pi\over 3}\) o kąt \(\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \cos \left(\pi + {\pi\over 3}\right)=\czerwony{\boldsymbol -}\cos {\pi\over 3}=-{1\over 2} \]
Przykład
Obliczymy \(\sin \left({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\right)\). Ponieważ kąt \({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\) leży w ćwiartce II, a sinus w tej ćwiartce przyjmuje wartości dodatnie, więc \(\sin \left({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\right)>0\) i przed funkcją trygonometryczną pojawi się znak \(\niebieski{\boldsymbol +}\), który można pominąć. Dodatkowo z uwagi na przesunięcie kąta \({\pi\over 6}\) o kąt \({\pi\over 2}\) funkcja trygonometryczna zmieni się na kofunkcję, tzn. z sinusa na cosinus. Otrzymujemy zatem \[ \sin\left({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\right)=\niebieski{\boldsymbol +}\cos {\pi\over 6}={\sqrt{3}\over 2} \] Zauważmy, że \({\pi\over 2} + {\pi\over 6}={2\over 3}\pi= \pi-{\pi\over 3}\). Zatem \(\sin\left({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\right)\) można obliczyć, nie przechodząc na kofunkcję, w następujący sposób \[ \sin\left({\pi\over 2} + {\pi\over 6}\right)=\sin \left(\pi-{\pi\over 3}\right)= \sin {\pi\over 3}={\sqrt{3}\over 2} \]
W poniższym zadaniu znajdują się przykłady zastosowania poznanych zasad redukcji kąta.
Zadanie
Oblicz wartość podanych wyrażeń:
  1. \(\displaystyle \sin {5\over 6}\pi\)
    Kąt \({5\over 6}\pi\) leży w ćwiartce II, więc jego sinus jest dodatni. Zatem \[ \sin {5\over 6}\pi=\sin\left(\pi-{\pi\over 6} \right)=\sin{\pi\over 6}={1\over 2} \]
  2. \(\displaystyle \cos {2\over 3}\pi\)
    Kąt \({2\over 3}\pi\) leży w ćwiartce II, więc jego cosinus jest ujemny. Zatem \[ \cos {2\over 3}\pi=\cos\left(\pi-{\pi\over 3} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\cos{\pi\over 3}=-{1\over 2} \]
  3. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, {3\over 4}\pi\)
    Kąt \({3\over 4}\pi\) leży w ćwiartce II, więc jego tangens jest ujemny. Zatem \[ \mathrm{tg}\, {3\over 4}\pi=\mathrm{tg}\, \left(\pi-{\pi\over 4} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\mathrm{tg}\, {\pi\over 4}=-1 \]
  4. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, {5\over 6}\pi\)
    Kąt \({5\over 6}\pi\) leży w ćwiartce II, więc jego cotangens jest ujemny. Zatem \[ \mathrm{ctg}\, {5\over 6}\pi=\mathrm{ctg}\, \left(\pi-{\pi\over 6} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\mathrm{ctg}\, {\pi\over 6}=-\sqrt{3} \]
  5. \(\displaystyle \sin {4\over 3}\pi\)
    Kąt \({4\over 3}\pi\) leży w ćwiartce III, więc jego sinus jest ujemny. Zatem \[ \sin {4\over 3}\pi=\sin\left(\pi+{\pi\over 3} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\sin{\pi\over 3}=-{\sqrt{3}\over 2} \]
  6. \(\displaystyle \cos {5\over 4}\pi\)
    Kąt \({5\over 4}\pi\) leży w ćwiartce III, więc jego cosinus jest ujemny Zatem \[ \cos {5\over 4}\pi=\cos\left(\pi+{\pi\over 4} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\cos{\pi\over 4}=-{\sqrt{2}\over 2} \]
  7. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, {7\over 6}\pi\)
    Kąt \({7\over 6}\pi\) leży w ćwiartce III, więc jego tangens jest dodatni. Zatem \[ \mathrm{tg}\, {7\over 6}\pi=\mathrm{tg}\, \left(\pi+{\pi\over 6} \right)=\mathrm{tg}\, {\pi\over 6}={\sqrt{3}\over 3} \]
  8. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, {5\over 4}\pi\)
    Kąt \({5\over 4}\pi\) leży w ćwiartce III, więc jego cotangens jest dodatni. Zatem \[ \mathrm{ctg}\, {5\over 4}\pi=\mathrm{ctg}\, \left(\pi+{\pi\over 4} \right)=\mathrm{ctg}\, {\pi\over 4}=1 \]
  9. \(\displaystyle \sin {7\over 4}\pi\)
    Kąt \({7\over 4}\pi\) leży w ćwiartce IV, więc jego sinus jest ujemny. Zatem \[ \sin {7\over 4}\pi=\sin\left(2\pi-{\pi\over 4} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\sin{\pi\over 4}=-{\sqrt{2}\over 2} \]
  10. \(\displaystyle \cos {5\over 3}\pi\)
    Kąt \({5\over 3}\pi\) leży w ćwiartce IV, więc jego cosinus jest dodatni. Zatem \[ \cos {5\over 3}\pi=\cos\left(2\pi-{\pi\over 3} \right)=\cos{\pi\over 3}={1\over 2} \]
  11. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, {11\over 6}\pi\)
    Kąt \({11\over 6}\pi\) leży w ćwiartce IV, więc jego tangens jest ujemny. Zatem \[ \mathrm{tg}\, {11\over 6}\pi=\mathrm{tg}\, \left(2\pi-{\pi\over 6} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\mathrm{tg}\, {\pi\over 6}=-{\sqrt{3}\over 3} \]
  12. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, {7\over 4}\pi\)
    Kąt \({7\over 4}\pi\) leży w ćwiartce IV, więc jego cotangens jest ujemny. Zatem \[ \mathrm{ctg}\, {7\over 4}\pi=\mathrm{ctg}\, \left(2\pi-{\pi\over 4} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\mathrm{ctg}\, {\pi\over 4}=-1 \]
  13. \(\displaystyle \sin {22\over 3}\pi\)
    Ponieważ \({22\over 3}\pi=6\pi+{4\over 3}\pi\), więc kąt \({22\over 3}\pi\) leży w ćwiartce III i jego sinus jest ujemny. Dodatkowo wiemy, że \(\sin \left (\alpha +2k\pi\right)=\sin \alpha\). Zatem \[ \sin {22\over 3}\pi=\sin \left(6\pi+{4\over 3}\pi \right)=\sin {4\over 3}\pi=\sin \left(\pi+{\pi\over 3} \right)=\czerwony{\boldsymbol -}\sin{\pi\over 3}=-{\sqrt{3}\over 2} \]
  14. \(\displaystyle \sin {17\over 6}\pi\)
    Ponieważ \({17\over 6}\pi=2\pi+{5\over 6}\pi\), więc kąt \({17\over 6}\pi\) leży w ćwiartce II i jego sinus jest dodatni. Zatem korzystamy z równości \(\sin \left (\alpha +2k\pi\right)=\sin \alpha\) i otrzymujemy \[ \sin {17\over 6}\pi=\sin \left(2\pi+{5\over 6}\pi \right)=\sin {5\over 6}\pi=\sin \left(\pi-{\pi\over 6} \right)=\sin{\pi\over 6}={1\over 2} \]
  15. \(\displaystyle \cos \left(-{7\over 4}\pi\right)\)
    Korzystamy z równości \(\cos \left (\alpha +2k\pi\right)=\cos \alpha\) i otrzymujemy \[ \cos \left(-{7\over 4}\pi\right)=\cos \left(2\pi-{7\over 4}\pi\right)=\cos {\pi\over 4}={\sqrt{2}\over 2} \]
  16. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, \left(-{\pi\over 3}\right)\)
    Korzystamy z równości \(\mathrm{tg}\, \left (\alpha +2k\pi\right)=\mathrm{tg}\, \alpha\) i otrzymujemy \[ \mathrm{tg}\, \left(-{\pi\over 3}\right)=\mathrm{tg}\,\left(2\pi-{\pi\over 3}\right)=-\mathrm{tg}\, {\pi\over 3}=-\sqrt{3} \]
Poniżej znajdują się przykładowe zadania, w których należy zastosować wzory redukcyjne.
Zadanie
Zredukuj argumenty podanych funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że \(x\in\left(0,{\pi\over 2}\right)\):
  1. \(\displaystyle \cos \left({\pi\over 2}-x\right)\)
    Skoro \(x\in\left(0,{\pi\over 2}\right)\), to \({\pi\over 2}-x\in\left(0,{\pi\over 2}\right)\) i jest kątem z ćwiartki I układu. Wartości funkcji cosinus są dodatnie w ćwiartce I (zgodnie z wierszykiem), więc redukując argument \({\pi\over 2}-x\) do argumentu \(x\), nie zmieniamy znaku. Przechodzimy jednak na kofunkcję (z cosinusa na sinus), gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta połówkowego \({\pi\over 2}\). Otrzymujemy zatem \[ \cos \left({\pi\over 2}-x\right)=\sin x \]
  2. \(\displaystyle \sin \left({\pi\over 2}+x\right)\)
    Ponieważ \({\pi\over 2}+x\in \left({\pi\over 2},\pi\right)\), to jest on kątem z ćwiartki II układu, w której funkcja sinus przyjmuje wartości dodatnie (jak mówi wierszyk). Redukując argument \({\pi\over 2}+x\) do argumentu \(x\), nie zmieniamy zatem znaku. Przechodzimy jednak na kofunkcję (z sinusa na cosinus), gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta połówkowego \({\pi\over 2}\). Otrzymujemy zatem \[ \sin \left({\pi\over 2}+x\right)=\cos x \]
  3. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, \left({\pi\over 2}+x\right)\)
    Zauważmy, że kąt \({\pi\over 2}+x\) jest kątem z ćwiartki II układu, w której funkcja tangens przyjmuje wartości ujemne (jak mówi wierszyk). Redukując argument \({\pi\over 2}+x\) do argumentu \(x\), musimy więc zmienić znak oraz przejść na kofunkcję (z tangensa na cotangens), gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta połówkowego \({\pi\over 2}\). Otrzymujemy zatem \[ \mathrm{tg}\, \left({\pi\over 2}+x\right)=-\mathrm{ctg}\, x \]
  4. \(\displaystyle \sin \left(\pi-x\right)\)
    Skoro \(x\in\left(0,{\pi\over 2}\right)\), to \(\pi-x\in\left({\pi\over 2},\pi\right)\) i jest kątem z ćwiartki II układu. Wartości funkcji sinus są dodatnie w ćwiartce II, więc redukując argument \(\pi-x\) do argumentu \(x\), nie zmieniamy znaku. Nie przechodzimy również na kofunkcję, gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta półpełnego \(\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \sin \left(\pi-x\right)=\sin x \]
  5. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, \left(\pi+x\right)\)
    Ponieważ \(\pi+x\in \left(\pi,{3\over 2}\pi\right)\), to jest on kątem z ćwiartki III układu, w której funkcja cotangens przyjmuje wartości dodatnie, nie należy więc zmieniać znaku. Nie przechodzimy również na kofunkcję, gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta półpełnego \(\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \mathrm{ctg}\, \left(\pi+x\right)=\mathrm{ctg}\, x \]
  6. \(\displaystyle \sin \left({3\over 2}\pi-x\right)\)
    Zauważmy, że kąt \({3\over 2}\pi-x\) jest kątem z ćwiartki III układu, w której funkcja sinus przyjmuje wartości ujemne. Redukując argument \({3\over 2}\pi-x\) do argumentu \(x\), należy więc zmienić znak oraz przejść na kofunkcję (z sinusa na cosinus), gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta połówkowego \({3\over 2}\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \sin \left({3\over 2}\pi-x\right)=-\cos x \]
  7. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, \left({3\over 2}\pi+x\right)\)
    Zauważmy, że kąt \({3\over 2}\pi+x\) jest kątem z ćwiartki IV układu, w której funkcja tangens przyjmuje wartości ujemne. Redukując argument \({3\over 2}\pi+x\) do argumentu \(x\), zmieniamy zatem znak. Przechodzimy również na kofunkcję (z tangensa na cotangens), gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta połówkowego \({3\over 2}\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \mathrm{tg}\, \left({3\over 2}\pi+x\right)=-\mathrm{ctg}\, x \]
  8. \(\displaystyle \cos \left(2\pi-x\right)\)
    Zauważmy, że kąt \(2\pi-x\) jest kątem z ćwiartki IV układu, w której funkcja cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Redukując argument \(2\pi-x\) do argumentu \(x\), nie zmieniamy zatem znaku. Nie przechodzimy również na kofunkcję, gdyż redukowany argument zapisany jest przy użyciu kąta pełnego \(2\pi\). Otrzymujemy zatem \[ \cos \left(2\pi-x\right)=\cos x \]
  9. \(\displaystyle \sin \left({7\over 2}\pi+x\right)\)
    Zauważmy, że \[ {7\over 2}\pi+x=2\pi +{3\over 2}\pi+x \] Z uwagi na równość \(\sin \left (\alpha +2k\pi\right)=\sin \alpha\) otrzymujemy \[ \sin \left({7\over 2}\pi+x\right)=\sin \left({3\over 2}\pi+x\right) \] Mamy zatem do obliczenia \(\sin \left({3\over 2}\pi+x\right)\). Podobnie jak w podpunkcie g tego przykładu ustalamy, że redukując argument \({3\over 2}\pi+x\) do argumentu \(x\), należy zmienić znak i przejść na kofunkcję, tzn. \[ \sin \left({7\over 2}\pi+x\right)=\sin \left(2\pi +{3\over 2}\pi+x\right)=\sin \left({3\over 2}\pi+x\right)=-\cos x \]
W poniższych zadaniach znajdują się przykłady zastosowania wzorów redukcyjnych i innych własności związków miarowych do wyznaczania kąta, którego sinus i cosinus jest nam znany.
Zadanie
Wyznacz kąt \(\beta\in\left<0,2\pi\right)\), wiedząc, że:
  1. \(\cos \beta={1\over 2}\) i \(\sin \beta ={\sqrt{3}\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta\) i \(\sin\beta\) są dodatnie, więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce I. Zatem zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów \[ \beta={\pi\over 3} \]
  2. \(\cos \beta={\sqrt{3}\over 2}\) i \(\sin \beta ={1\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta\) i \(\sin\beta\) są dodatnie, więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce I. Zatem zgodnie z tabelą wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów \[ \beta={\pi\over 6}\]
  3. \(\cos \beta=-{\sqrt{3}\over 2}\) i \(\sin \beta ={1\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta<0\) i \(\sin\beta>0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce II. Zatem kąt \(\beta\) zapisujemy w postaci \(\pi-\alpha\), gdzie \(\alpha\) leży w ćwiartce I i spełnia warunki \[ \cases{\cos\alpha=\vert\cos\beta\vert={\sqrt{3}\over 2}\cr \sin\alpha=\vert\sin\beta\vert={1\over 2}\cr} \] Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów wynika, że warunki te spełnia kąt \(\alpha={\pi\over 6}\). Zatem \[ \beta=\pi-{\pi\over 6}={5\over 6}\pi \]
  4. \(\cos \beta=-{\sqrt{2}\over 2}\) i \(\sin \beta ={\sqrt{2}\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta<0\) i \(\sin\beta>0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce II. Jak w poprzednim przykładzie znajdujemy kąt \(\alpha={\pi\over 4}\), więc \[ \beta=\pi-{\pi\over 4}={3\over 4}\pi \]
  5. \(\cos \beta=-{\sqrt{3}\over 2}\) i \(\sin \beta =-{1\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta<0\) i \(\sin\beta<0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce III. Kąt \(\beta\) zapisujemy w postaci \(\pi+\alpha\), gdzie \(\alpha\) leży w ćwiartce I i spełnia warunki \[ \cases{\cos\alpha=\vert\cos\beta\vert={\sqrt{3}\over 2}\cr \sin\alpha=\vert\sin\beta\vert={1\over 2}\cr} \] Warunki te spełnia kąt \(\alpha={\pi\over 6}\). Zatem \[ \beta=\pi+{\pi\over 6}={7\over 6}\pi \]
  6. \(\cos \beta=-{1\over 2}\) i \(\sin \beta =-{\sqrt{3}\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta<0\) i \(\sin\beta<0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce III. Jak w poprzednim przykładzie znajdujemy kąt \(\alpha={\pi\over 3}\). Zatem \[ \beta=\pi+{\pi\over 3}={4\over 3}\pi \]
  7. \(\cos \beta={\sqrt{2}\over 2}\) i \(\sin \beta =-{\sqrt{2}\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta>0\) i \(\sin\beta<0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce IV. Kąt \(\beta\) zapisujemy w postaci \(2\pi-\alpha\), gdzie \(\alpha\) leży w ćwiartce I i spełnia warunki \[ \cases{\cos\alpha=\vert\cos\beta\vert={\sqrt{2}\over 2}\cr \sin\alpha=\vert\sin\beta\vert={\sqrt{2}\over 2}\cr} \] Warunki te spełnia kąt \(\alpha={\pi\over 4}\). Zatem \[ \beta=2\pi-{\pi\over 4}={7\over 4}\pi \]
  8. \(\cos \beta={\sqrt{3}\over 2}\) i \(\sin \beta =-{1\over 2}\)
    Ponieważ \(\cos\beta>0\) i \(\sin\beta<0\), więc kąt \(\beta\) leży w ćwiartce IV. Jak w poprzednim przykładzie znajdujemy kąt \(\alpha={\pi\over 6}\). Zatem \[ \beta=2\pi-{\pi\over 6}={11\over 6}\pi \]
Zadanie
Wyznacz kąt \(\alpha\in\left<0,2\pi\right)\), wiedząc, że:
  1. \(\cos \alpha=1\) i \(\sin \alpha =0\)
    Ponieważ cosinus jest dodatni w ćwiartce I lub IV, a sinus równy \(0\), to kąt \(\alpha\) leży na granicy ćwiartki I i IV. Zatem \(\alpha=0\).
  2. \(\cos \alpha=-1\) i \(\sin \alpha =0\)
    Ponieważ cosinus jest ujemny w ćwiartce II lub III, a sinus równy \(0\), to kąt \(\alpha\) leży na granicy ćwiartki II i III. Zatem \(\alpha=\pi\).
  3. \(\cos \alpha=0\) i \(\sin \alpha =1\)
    Ponieważ sinus jest dodatni w ćwiartce I lub II, a cosinus równy \(0\), to kąt \(\alpha\) leży na granicy ćwiartki I i II. Zatem \(\alpha={\pi\over 2}\).
  4. \(\cos \alpha=0\) i \(\sin \alpha =-1\)
    Ponieważ sinus jest ujemny w ćwiartce III lub IV, a cosinus równy \(0\), to kąt \(\alpha\) leży na granicy ćwiartki III i IV. Zatem \(\alpha={3\over 2}\pi\).
Wierszyk
W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej tangens i cotangens,
a w czwartej cosinus.
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów
\(\alpha\) \(0\) \({\pi\over 6}\) \({\pi\over 4}\) \({\pi\over 3}\) \({\pi\over 2}\) \(\pi\) \({3\over 2}\pi\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \({1\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \(1\) \(0\) \(-1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({1\over 2}\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(\text{tg}\, \alpha\) \(0\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) \(\bigtimes\) \(0\) \(\bigtimes\)
\(\text{ctg}\, \alpha\) \(\bigtimes\) \(\sqrt{3}\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(0\) \(\bigtimes\) \(0\)