Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\left<-1, 1\right>\), więc nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in\mathbb{R}\).

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału \(\left<-1, 1\right>\), więc nierówność jest sprzeczna.

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ funkcja sinus przyjmuje wartości z przedziału \(\left<-1, 1\right>\), więc nierówność \(\sin x\geq 1\) jest równoważna z równaniem \(\sin x= 1\). Zatem rozwiązania nierówności mają postać \[ x={\pi\over 2}+2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Ponieważ funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału \(\left<-1, 1\right>\), więc nierówność \(\cos x< 1\) jest równoważna z warunkiem \[ \cos x\neq 1 \] Zatem rozwiązanie nierówności to \[ x\in\mathbb{R}\backslash\{k\pi: k\in\mathbb{Z}\} \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \sin x }}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{3}}{2}}}\). Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }} \gt \czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\] Ponieważ \({\frac{\sqrt{3}}{2}}={\sin }\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}\) oraz rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\zielony{\bf{I}}\) lub \(\niebieski{\bf{II}}\), więc mają postać \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}}+ 2k\pi, \quad \hbox{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Zatem \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{3}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{II}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{2}{3}\pi}}+ 2k\pi, \quad \hbox{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności \(\sin x> {\sqrt{3}\over 2}\) to \[ x\in \left({\pi\over 3} +2k\pi,{2\over 3}\pi+ 2k\pi\right), \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(\mathbb{R}\). Rysujemy wykresy funkcji \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{y= \cos x }}\) oraz \(\czerwony{\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}}\). Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x }} \lt \czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x }}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\] Ponieważ \({\frac{\sqrt{2}}{2}}=\cos\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}\) oraz rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\cos x }}=\czerwony{\boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\zielony{\bf{I}}\) lub \(\niebieski{\bf{IV}}\), więc mają postać \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}2\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}+ 2k\pi, \quad \hbox{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Stąd \[x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{\frac{7}{4}\pi}}+ 2k\pi, \quad \hbox{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności \(\cos x < {\sqrt{2}\over 2}\) to \[ x\in \left({\pi\over 4} +2k\pi,{7\over 4}\pi+ 2k\pi\right), \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

Dziedziną równania jest zbiór \(\mathbb{R}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\sin x\) oraz \(y=-{\sqrt{2}\over 2}\) Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }} \geq \czerwony{\boldsymbol{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }}=\czerwony{\boldsymbol{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\] Ponieważ \({\sqrt{2}\over 2}=\sin {\zielony{\boldsymbol{\pi\over 4}}}\) oraz rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\sin x }}=\czerwony{\boldsymbol{-\frac{\sqrt{2}}{2}}}\) leżą w ćwiartce \(\fioletowy{\bf{III}}\) lub \(\niebieski{\bf{IV}}\), więc mają postać \[x\overset{\fioletowy{\bf{III}}}{=}\pi+\zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}} +2k\pi \quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}2\pi - \zielony{\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}}+ 2k\pi, \quad \hbox{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] \[ x\overset{\fioletowy{\bf{III}}}{=}\fioletowy{\boldsymbol{{5\over 4}\pi}} +2k\pi\quad \vee \quad x\overset{\niebieski{\bf{IV}}}{=}\niebieski{\boldsymbol{{7\over 4}\pi}}+ 2k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z}\] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności \(\sin x\geq - {\sqrt{2}\over 2}\) to \[ x\in \left<0+2k\pi,{5\over 4}\pi +2k\pi\right>\cup\left<{7\over 4}\pi+ 2k\pi,2\pi+2k\pi\right>, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \] Wykorzystując okresowość funkcji sinus (\(T=2\pi\)), możemy zapisać rozwiązania w równoważnej postaci \[ x\in \left<-{\pi\over 4}+2k\pi,{5\over 4}\pi +2k\pi\right>, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(\mathbb{R}\backslash\{{\pi\over 2}+k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\mathrm{tg}\, x\) oraz \(y={\sqrt{3}\over 3}\). Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{tg}\, x }} \geq \czerwony{\boldsymbol{{\sqrt{3}\over 3}}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{tg}\, x }} = \czerwony{\boldsymbol{{\sqrt{3}\over 3}}}\] Wiemy, że \({\sqrt{3}\over 3}=\mathrm{tg}\, \zielony{\boldsymbol{\pi\over 6}}\), więc rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{tg}\, x }} = \czerwony{\boldsymbol{{\sqrt{3}\over 3}}}\) mają postać \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\pi\over 6}} +k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności \(\mathrm{tg}\, x \geq {\sqrt{3}\over 3}\) to \[ x\in \left<{\pi\over 6} +k\pi,{\pi\over 2}+ k\pi\right), \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z} \}\). Rysujemy wykresy funkcji \(y=\mathrm{ctg}\, x\) oraz \(y=1\) Widzimy, że rozwiązania nierówności \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{ctg}\, x }} \leq \czerwony{\boldsymbol{1}}\) należą do przedziałów, których końce znajdziemy, rozwiązując równanie \[\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{ctg}\, x }} = \czerwony{\boldsymbol{1}}\] Wiemy, że \(1=\mathrm{ctg}\, \zielony{\boldsymbol{\pi\over 4}}\), zatem rozwiązania równania \(\color{darkslategray}{\boldsymbol{\mathrm{ctg}\, x }} = \czerwony{\boldsymbol{1}}\) mają postać \[ x\overset{\zielony{\bf{I}}}{=}\zielony{\boldsymbol{\pi\over 4}}+ k\pi, \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \] Z rysunku odczytujemy, że rozwiązania nierówności \(\mathrm{ctg}\, x \leq 1\) to \[ x\in \left<{\pi\over 4}+ k\pi,\pi+k\pi\right), \quad \text{gdzie} \quad k\in\mathbb{Z} \]