Tożsamości trygonometryczne

Z definicji funkcji trygonometrycznych wynikają podstawowe tożsamości, które wykorzystujemy, rozwiązując różnego typu zadania.
Własność
Dla \(\displaystyle \alpha\in \mathbb{R}\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1\) (jedynka trygonometryczna)

  2. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, \alpha = {\sin \alpha \over \cos\alpha}\quad \hbox{dla} \quad \alpha \neq {\pi\over 2}+k\pi\), gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

  3. \(\displaystyle \mathrm{ctg}\, \alpha = {\cos \alpha \over \sin\alpha}\quad \hbox{dla}\quad \alpha \neq k\pi\), gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

  4. \(\displaystyle \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha = 1\quad \hbox{dla}\quad \alpha \neq k\cdot{\pi\over 2}\), gdzie \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\)

W poniższym zadaniu wykorzystamy wartości funkcji trygonometryczne podstawowych kątów.
Zadanie
Wyznacz:
  1. \(\cos \alpha\), wiedząc, że \(\sin \alpha=-{1\over 2}\) i \(\alpha\in\left(\pi,{3\over 2}\pi\right)\)
    Z jedynki trygonometrycznej wynika, że jedynymi możliwymi wartościami \(\cos\alpha\) są \({\sqrt{3}\over 2}\) lub \(-{\sqrt{3}\over 2}\). Skoro \(\alpha\in\left(\pi,{3\over 2}\pi\right)\), tzn. \(\alpha\) leży w ćwiartce III, to \(\cos\alpha<0\). Zatem \[ \cos \alpha =-{\sqrt{3}\over 2} \]
  2. \(\sin \alpha\), wiedząc, że \(\cos \alpha={\sqrt{2}\over 2}\) i \(\alpha\in\left({3\over 2}\pi,2\pi\right)\)
    Z jedynki trygonometrycznej wynika, że jedynymi możliwymi wartościami \(\sin\alpha\) są \({\sqrt{2}\over 2}\) lub \(-{\sqrt{2}\over 2}\). Skoro \(\alpha\in\left({3\over 2}\pi,2\pi\right)\), tzn. \(\alpha\) leży w ćwiartce IV, to \(\sin\alpha<0\). Zatem \[ \sin \alpha =-{\sqrt{2}\over 2} \]
  3. \(\sin \alpha\), wiedząc, że \(\cos \alpha=-{1\over 2}\) i \(\alpha\in\left({\pi\over 2},\pi\right)\)
    Z jedynki trygonometrycznej wynika, że jedynymi możliwymi wartościami \(\sin\alpha\) są \({\sqrt{3}\over 2}\) lub \(-{\sqrt{3}\over 2}\). Skoro \(\alpha\in\left({\pi\over 2},\pi\right)\), tzn. \(\alpha\) leży w ćwiartce II, to \(\sin\alpha>0\). Zatem \[ \sin \alpha ={\sqrt{3}\over 2} \]
  4. \(\mathrm{tg}\, \alpha\), wiedząc, że \(\mathrm{ctg}\, \alpha=-{\sqrt{3}\over 3}\) i \(\alpha\in\left({3\over 2}\pi,2\pi\right)\)
    Wiemy, że jedynymi możliwymi wartościami \(\mathrm{tg}\,\alpha\) są \(\sqrt{3}\) lub \(-\sqrt{3}\). Skoro \(\alpha\) leży w ćwiartce IV, to \(\mathrm{tg}\,\alpha<0\), więc \[ \mathrm{tg}\, \alpha =-\sqrt{3} \]
Zadanie
Znając wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta \(\alpha\), wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego samego kąta, gdy:
  1. \(\sin\alpha = {4\over 5}\) i \(\alpha\in \left(0,{\pi\over 2}\right)\)
    W odróżnieniu od poprzedniego zadania nie możemy odnaleźć w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów wartości \({4\over 5}\). Musimy zatem skorzystać z własności funkcji trygonometrycznych.
    Z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartość cosinusa kąta: \(\alpha\) \[ \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1 \] \[ \cos^2 \alpha =1-\sin^2\alpha \] Po podstawieniu \(\sin\alpha = {4\over 5}\) otrzymujemy: \[ \cos^2 \alpha =1-\left({4\over 5}\right)^2=1-{16\over 25}={9\over 25} \] \[ \cos \alpha =\sqrt{{9\over 25}}={3\over 5}\quad \vee \quad \cos \alpha =-\sqrt{{9\over 25}}=-{3\over 5} \] Ponieważ \(\alpha\in \left(0,{\pi\over 2}\right)\), to kąt \(\alpha\) leży w ćwiartce I, a jego cosinus jest dodatni. Stąd \[ \cos\alpha={3\over 5} \] Wówczas wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta \(\alpha\) wynoszą: \[ \mathrm{tg}\, \alpha={\sin \alpha \over \cos\alpha}={{4\over 5} \over {3\over 5}}={4\over 3} \] \[ \mathrm{ctg}\, \alpha={\cos \alpha \over \sin\alpha}={{3\over 5} \over {4\over 5}}={3\over 4} \]
  2. \(\cos\alpha = -{1\over 3}\) i \(\alpha\in \left(\pi,{3\over 2}\pi\right)\)
    Z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartość sinusa kąta: \(\alpha\) \[ \sin^2\alpha + \cos^2 \alpha =1 \] \[ \sin^2 \alpha =1-\cos^2\alpha \] Po podstawieniu \(\cos\alpha = -{1\over 3}\) otrzymujemy: \[ \sin^2 \alpha =1-\left(-{1\over 3}\right)^2=1-{1\over 9}={8\over 9} \] \[ \sin \alpha =\sqrt{{8\over 9}}={\sqrt{8}\over 3}\quad \vee \quad \sin \alpha =-\sqrt{{8\over 9}}=-{\sqrt{8}\over 3} \] Ponieważ kąt \(\alpha\) leży w ćwiartce III, to jego sinus jest ujemny, więc \[ \sin\alpha=-{\sqrt{8}\over 3}=-{2\sqrt{2}\over 3} \] Wówczas: \[ \mathrm{tg}\, \alpha={\sin \alpha \over \cos\alpha}={-{2\sqrt{2}\over 3} \over -{1\over 3}}=2\sqrt{2} \] \[ \mathrm{ctg}\, \alpha={1\over \mathrm{tg}\, \alpha}={1\over 2\sqrt{2}}={\sqrt{2}\over 4} \]
  3. \(\mathrm{tg}\, \alpha = -{1\over 2}\) i \(\alpha\in \left({\pi\over 2},\pi\right)\)
    Wykorzystując związek między tangensem i cotangensem tego samego kąta, wyznaczamy wartość cotangensa kąta \(\alpha\) \[ \mathrm{ctg}\, \alpha={1\over \mathrm{tg}\, \alpha}={1\over -{1\over 2}}=-2 \] Aby wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, zastosujemy wzór \[ \mathrm{tg}\, \alpha = {\sin \alpha \over \cos\alpha} \] Ponieważ \(\mathrm{tg}\, \alpha = -{1\over 2}\), więc otrzymujemy \[ -{1\over 2} = {\sin \alpha \over \cos\alpha} \] Podnosimy obie strony powyższego równania do kwadratu \[ \ {1\over 4} = {\sin^2 \alpha \over \cos^2\alpha} \] Korzystając z jedynki trygonometrycznej, zastępujemy \(\cos^2\alpha\) wyrażeniem \(1- \sin^2\alpha\): \[ \qquad\qquad\qquad\qquad {1\over 4} = \left. {\sin^2 \alpha \over 1- \sin^2\alpha}\ \right/ \cdot 4\left(1-\sin^2\alpha\right) \] \[ 4\sin^2 \alpha=1- \sin^2\alpha \] \[ 5\sin^2 \alpha=1 \] \[ \sin^2 \alpha={1\over 5} \] Ponieważ kąt \(\alpha\) leży w ćwiartce II, to jego sinus jest dodatni, więc \[ \sin\alpha={1\over \sqrt{5}}={\sqrt{5}\over 5} \] Z jedynki trygonometrycznej możemy wyliczyć teraz \(\cos^2\alpha\) \[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-{1\over 5}={4\over 5} \] Ponieważ \(\alpha\) leży w ćwiartce II, to jego cosinus jest ujemny, więc \[ \cos\alpha=-\sqrt{{4\over 5}}=-{2\over \sqrt{5}}=-{2\sqrt{5}\over 5} \]
  4. \(\mathrm{ctg}\, \alpha = -4\) i \(\alpha\in \left({3\over 2}\pi,2\pi\right)\)
    Wykorzystując związek między tangensem i cotangensem tego samego kąta, możemy wyznaczyć wartość tangensa kąta \(\alpha\) \[ \mathrm{tg}\, \alpha={1\over \mathrm{ctg}\, \alpha}=-{1\over 4} \] Aby wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, wykorzystamy wzór \[ \mathrm{ctg}\, \alpha = {\cos \alpha \over \sin\alpha} \] Ponieważ \(\mathrm{ctg}\, \alpha = -4\), więc otrzymujemy \[ -4 = {\cos \alpha \over \sin\alpha} \] Podnosimy obie strony tego równania do kwadratu \[ \ 16 = {\cos^2 \alpha \over \sin^2\alpha} \] Korzystając z jedynki trygonometrycznej, zastępujemy \(\cos^2\alpha\) wyrażeniem: \(1- \sin^2\alpha\) \[ \qquad\qquad\quad 16 = \left. {1-\sin^2 \alpha \over \sin^2\alpha}\ \right/ \cdot\sin^2\alpha \] \[ 16\sin^2 \alpha=1- \sin^2\alpha \] \[17\sin^2 \alpha=1 \] \[ \sin^2 \alpha={1\over 17} \] Ponieważ kąt \(\alpha\) leży w ćwiartce IV, to jego sinus jest ujemny, więc \[ \sin\alpha=-\sqrt{{1\over 17}}=-{1\over \sqrt{17}}=-{\sqrt{17}\over 17} \] Z jedynki trygonometrycznej możemy wyliczyć teraz \(\cos^2\alpha\) \[ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-{1\over 17}={16\over 17} \] Ponieważ \(\alpha\) leży w ćwiartce IV, to jego cosinus jest dodatni, więc \[ \cos\alpha=\sqrt{{16\over 17}}={4\over \sqrt{17}}={4\sqrt{17}\over 17}\]
Oprócz poznanych wcześniej często wykorzystywane są również inne wzory zamieszczone w poniższych własnościach.
Własność
Dla \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle \sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

  2. \(\displaystyle \sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)

  3. \(\displaystyle \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

  4. \(\displaystyle \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

Z powyższej własności wynikają między innymi często wykorzystywane wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego.
Własność
Dla \(\alpha\in\mathbb{R}\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle \sin2\alpha =2\sin\alpha\cos\alpha\)

  2. \(\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)

Zadanie
Uprość podane wyrażenia:
  1. \(\displaystyle {\sin 2\alpha \over \hbox{tg}\: \alpha}\), gdzie \(\hbox{tg}\: \alpha\neq 0\)
    Ponieważ \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos\alpha\) oraz \(\hbox{tg}\: \alpha={\sin\alpha\over\cos\alpha}\), to \[ {\sin 2\alpha \over \hbox{tg}\: \alpha}={2\sin \alpha\cos \alpha \over {\sin\alpha\over \cos\alpha}}=2\sin \alpha\cos \alpha\cdot {\cos\alpha\over \sin\alpha}=2\cos^2\alpha \]
  2. \(\displaystyle \frac{1- \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos \alpha}\), gdzie \(\cos \alpha \neq 0\)
    Ponieważ \(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha\) oraz \(1-\sin ^2 \alpha =\cos^2 \alpha\), to \[\frac{1- \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos x}=\frac{1-\sin ^2 \alpha}{\cos x}=\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \alpha}=\cos \alpha \]
  3. \(\displaystyle {\sin\alpha\cos\alpha \over \sin^2\alpha-\cos^2\alpha}\), gdzie \(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\neq 0\)
    Ponieważ \(\cos^2 \alpha - \sin^2\alpha=\cos 2\alpha \) oraz \(2\sin \alpha \cos\alpha=\sin 2\alpha\), to \[ {\sin\alpha\cos\alpha \over \sin^2\alpha-\cos^2\alpha}={1\over 2}\cdot{2\sin\alpha\cos\alpha \over -\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)}=-{1\over 2}\cdot{\sin2\alpha\over \cos 2\alpha}=-{1\over 2}\hbox{tg}\: 2\alpha \]
  4. \(\displaystyle {\cos 2\alpha \over \cos\alpha\cdot \hbox{ctg}\: \alpha-\sin\alpha}\), gdzie \(\cos\alpha\cdot\hbox{ctg}\:\alpha-\sin\alpha\neq 0\)
    Ponieważ \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2\alpha\) oraz \(\hbox{ctg}\: \alpha={\cos\alpha\over\sin\alpha}\), to \[ \eqalign{ {\cos 2\alpha \over \cos\alpha\cdot\hbox{ctg}\: \alpha-\sin\alpha}& ={\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \over \cos\alpha \cdot{\cos\alpha\over \sin\alpha}-\sin\alpha}={\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \over {\cos^2\alpha\over \sin\alpha}-{\sin^2\alpha\over\sin\alpha}}={\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \over {\cos^2\alpha - \sin^2\alpha\over \sin\alpha}}=\cr &=\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\cdot{\sin\alpha\over \cos^2\alpha - \sin^2\alpha} =\sin\alpha\cr } \]
  5. \(\displaystyle {1+ \hbox{tg}\: x\over 1+ \hbox{ctg}\: x}\), gdzie \(1+ \hbox{ctg}\: x\neq 0\)
    Ponieważ \(\hbox{tg}\: x ={\sin x\over \cos x}\) oraz \(\hbox{ctg}\: x ={\cos x\over \sin x}\), to \[ \eqalign{{1+ \hbox{tg}\: x\over 1+ \hbox{ctg}\: x}&={1+ { \sin x \over \cos x}\over 1+ { \cos x \over \sin x}}={{ \cos x + \sin x \over \cos x}\over { \sin x + \cos x \over \sin x}}={ \cos x + \sin x \over \cos x} \cdot { \sin x \over \sin x + \cos x}=\cr &={ \sin x \over \cos x}= \hbox{tg}\: x \cr }\]
  6. \(\displaystyle \frac{\cos x}{1- \sin x}+\frac{\cos x}{1+ \sin x}\), gdzie \(\vert \sin x\vert\neq 1\)
    \[\eqalign{\frac{\cos x}{1- \sin x}+\frac{\cos x}{1+ \sin x}& =\frac{(1+\sin x)\cos x +(1-\sin x)\cos x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\cr & =\frac{\cos x+\sin x\cos x +\cos -\sin x\cos x}{1-\sin^2 x}\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=} \cr & \overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=} \frac{2\cos x}{\cos^2 x}=\frac{2}{\cos x}\cr}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z jedynki trygonometrycznej (\(1-\sin^2 x=\cos ^2 x\)).
  7. \(\displaystyle \sin x-\sqrt{\text{ctg}^2 x-\cos^2 x}\), jeżeli \(x\in (\pi, 2\pi)\)
    Ponieważ \(\text{ctg}\: x =\frac{\cos x}{\sin x}\), to \[\eqalign{\sqrt{\text{ctg}^2 x-\cos^2 x}&=\sqrt{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-\cos^2 x}=\sqrt{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}-\frac{\cos^2 x \sin^2 x}{\sin^2 x}}=\cr &=\sqrt{\frac{\cos^2 x- \cos^2 x\sin^2 x}{\sin^2 x}}=\sqrt{\frac{\cos^2 x(1- \sin^2 x)}{\sin^2 x}} \overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\cr & \overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}\sqrt{\frac{\cos^4 x}{\sin^2 x}} \overset{\czerwony{**}}{=}\frac{\cos^2 x}{\vert\sin x\vert} \cr} \] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z jedynki trygonometrycznej (\(1-\sin^2 x=\cos ^2 x\)). W miejscu oznaczonym \(\czerwony{**}\) skorzystaliśmy z własności działań na pierwiastkach \(\left(\root n \of {a \over b}={\root n \of {a} \over \root n \of {b} }\right)\) oraz ze wzoru \(\sqrt{a^2}=\vert a \vert\). Skoro \(x\in (\pi, 2\pi)\), to \(\sin x \lt 0\), więc \(\vert\sin x\vert=-\sin x\). Zatem \[\sin x - \sqrt{\text{ctg}^2 x-\cos^2 x}=\sin x - \frac{\cos^2 x}{-\sin x}=\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x}\]
Kolejne tożsamości trygonometrycznych dotyczą sumy i różnicy sinusów lub cosinusów kątów.
Własność
Dla \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) zachodzą wzory:

  1. \(\displaystyle \sin\alpha + \sin\beta=2\sin{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\)

  2. \(\displaystyle \sin\alpha - \sin\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\)

  3. \(\displaystyle \cos\alpha + \cos\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\)

  4. \(\displaystyle \cos\alpha - \cos\beta=-2\sin{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\)

Zadanie
Przedstaw podane wyrażenia jako sumę lub różnicę funkcji sinus albo cosinus:
  1. \(\sin 6x\cos 5x\)
    Skorzystamy ze wzoru na sumę sinusów, przyjmując \[ \cases{{\alpha+\beta\over 2}=6x \ /\cdot 2\cr {\alpha-\beta\over 2}=5x \ /\cdot 2\cr } \quad\Longleftrightarrow\quad \cases{\alpha+\beta =12x\cr \alpha-\beta =10x\cr } \] Dodajemy stronami oba równania \[ 2\alpha=22x \ /:2 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha =11x \] Zatem \[ 11x+\beta=12 x \quad\Longleftrightarrow\quad \beta=x \] Wstawiamy \(\alpha=11x\), \(\beta=x\) do wzoru na sumę sinusów \[ 2\sin 6x\cos 5x=\sin 11x +\sin x \ /:2 \] Ostatecznie \[ \sin 6x\cos 5x={1\over 2}\left(\sin 11x +\sin x\right) \]
  2. \(\sin 3x\cos 6x\)
    Skorzystamy ze wzoru na różnicę sinusów, przyjmując \[ \cases{{\alpha-\beta\over 2}=3x \ /\cdot 2\cr {\alpha+\beta\over 2}=6x \ /\cdot 2\cr } \quad\Longleftrightarrow\quad \cases{\alpha-\beta =6x\cr \alpha+\beta =12x\cr } \] Dodajemy stronami oba równania \[ 2\alpha=18x \ /:2 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha =9x \] Zatem \[ 9x+\beta=12x \quad\Longleftrightarrow\quad \beta=3x \] Wstawiamy \(\alpha=9x\), \(\beta=3x\) do wzoru na różnicę sinusów \[ 2\sin 3x\cos 6x=\sin 9x -\sin 3x \] Ostatecznie \[ \sin 3x\cos 6x={1\over 2}\left(\sin 9x -\sin 3x\right) \]
  3. \(\cos 5x\cos x\)
    Skorzystamy ze wzoru na sumę cosinusów, przyjmując \[ \cases{{\alpha+\beta\over 2}=5x \ /\cdot 2\cr {\alpha-\beta\over 2}=x \ /\cdot 2\cr } \quad\Longleftrightarrow\quad \cases{\alpha+\beta =10x\cr \alpha-\beta =2x\cr } \] Dodajemy stronami oba równania \[ 2\alpha=12x \ /:2 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha =6x \] Zatem \[ 6x+\beta=10x \quad\Longleftrightarrow\quad \beta=4x \] Wstawiamy \(\alpha=10x\), \(\beta=4x\) do wzoru na sumę cosinusów \[ 2\cos 5x\cos x=\cos 6x +\cos 4x \] Ostatecznie \[ \cos 5x\cos x={1\over 2}\left(\cos 6x +\cos 4x\right) \]
  4. \(\sin 7x\sin 2x\)
    Skorzystamy ze wzoru na różnicę cosinusów, przyjmując \[ \cases{{\alpha+\beta\over 2}=7x \ /\cdot 2\cr {\alpha-\beta\over 2}=2x \ /\cdot 2\cr } \quad\Longleftrightarrow\quad \cases{\alpha+\beta =14x\cr \alpha-\beta =4x\cr } \] Dodajemy stronami oba równania \[ 2\alpha=18x \ /:2 \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha =9x \] Zatem \[ 9x+\beta=14x \quad\Longleftrightarrow\quad \beta=5x \] Wstawiamy \(\alpha=9x\), \(\beta=5x\) do wzoru na różnicę cosinusów \[ -2\sin 7x\sin 2x=\cos 9x -\cos 5x \] Ostatecznie \[ \sin 7x\sin 2x=-{1\over 2}\left(\cos 9x -\cos 5x\right) \]
Tabela wartości funkcji trygonometrycznych podstawowych kątów
\(\alpha\) \(0\) \({\pi\over 6}\) \({\pi\over 4}\) \({\pi\over 3}\) \({\pi\over 2}\) \(\pi\) \({3\over 2}\pi\)
\(\sin\alpha\) \(0\) \({1\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \(1\) \(0\) \(-1\)
\(\cos\alpha\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 2}\) \({\sqrt{2}\over 2}\) \({1\over 2}\) \(0\) \(-1\) \(0\)
\(\text{tg}\, \alpha\) \(0\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) \(\bigtimes\) \(0\) \(\bigtimes\)
\(\text{ctg}\, \alpha\) \(\bigtimes\) \(\sqrt{3}\) \(1\) \({\sqrt{3}\over 3}\) \(0\) \(\bigtimes\) \(0\)
Jedynka trygonometryczna \[\sin^2 \alpha+\cos^2\alpha =1\]
Suma sinusów \[\sin\alpha + \sin\beta=2\sin{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\]
Różnica sinusów \[\sin\alpha - \sin\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\]
Suma cosinusów \[\cos\alpha + \cos\beta=2\cos{\alpha+\beta\over 2}\cos{\alpha-\beta\over 2}\]
Różnica cosinusów \[\cos\alpha -\cos\beta=-2\sin{\alpha+\beta\over 2}\sin{\alpha-\beta\over 2}\]
Tożsamość trygonometryczna \[\mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{ctg},\alpha=1\]