Wyznaczamy różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dwóch kolejnych wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\). \[\eqalign { a_{n+1}-a_n &=\left[(n+1)^2+1\right]-\left[n^2+1\right]=\cr &=n^2+2n+2-n^2-1=2n+1 \quad \hbox{dla} \quad n\in \mathbb{N}\cr } \] Ponieważ różnica ta nie jest wartością stałą, więc nie istnieje liczba rzeczywista \(r\) taka, że \(a_{n+1}=a_n+r\). Oznacza to, że ciąg \(\left(a_n\right)\) nie jest ciągiem arytmetycznym.

Wyznaczamy różnicę \(a_{n+1}-a_n\) dwóch kolejnych wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\). \[\eqalign { a_{n+1}-a_n&=\left[3(n+1)-4\right]-\left[3n-4\right]=\cr &=3n-1 -3n+4=3 \quad \hbox{dla} \quad n\in \mathbb{N} \cr }\] Zatem dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) \[ a_{n+1}=a_n+3, \] więc ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(r=3\).

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy \[ \cases{a_3=a_1+2r\cr a_8=a_1+7r\cr} \] Po podstawieniu \(a_3=4\) i \(a_8=19\) otrzymujemy układ równań \[ \cases{ a_1+2r=4\cr a_1+7r=19\cr } \] Jego rozwiązaniem jest \[ \cases{ a_1=-2\cr r=3\cr } \] Zatem wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) ma postać \[ a_n=-2+(n-1)\cdot 3 \] \[ a_n=3n-5 \]

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i otrzymujemy \[ \cases{a_4=a_1+3r\cr a_{11}=a_1+10r\cr} \] Po podstawieniu \(a_4=7\) i \(a_{11}=-3\) otrzymujemy układ równań \[ \cases{a_1+3r=7\cr a_1+10r=-3\cr } \] Jego rozwiązaniem jest \[ \cases{ a_1={79\over 7}\cr r=-{10\over 7}\cr } \] Zatem wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) ma postać \[ a_n={79\over 7}-{10\over 7}(n-1) \] \[ a_n=-{10\over 7}n +{89\over 7} \]

Łatwo zauważyć, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(r=1\). Zatem jest on ciągiem rosnącym, gdyż \(r>0\), jak mówi powyższe twierdzenie.

Skorzystamy z definicji ciągu arytmetycznego, aby wyznaczyć różnicę \(r\). \[ \bigvee_{r\in \mathbb{R}}\quad \bigwedge_{n\in \mathbb{N}}\quad a_{n+1}=a_n+r \] Zatem dla \(n=6\) mamy \[ a_7=a_6+r \] \[ -2=7+r \] \[ r=-9 \] Ponieważ \(r<0\), to ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Ponieważ \(1+2+3+\ldots+n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(a_n=n\) (o różnicy \(r=1\)), więc zgodnie ze wzorem zawartym w powyższym twierdzeniu mamy \[ S_n=1+2+3+\ldots+n={1+n\over 2}\cdot n\]

Ponieważ \(1+3+5+\ldots+(2n-1)\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(a_n=2n-1\) (o różnicy \(r=2\)), więc \[ S_n=1+3+5+\ldots+(2n-1)={1+2n-1\over 2}\cdot n=n^2 \]

Zapiszemy składniki sumy \(6+8+10+\ldots+126\) jako wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy \(2\). \[ a_1=6, \quad a_2=6+2\cdot 1, \quad a_3=6+2\cdot 2, \quad \ldots, \quad a_n=6+2(n-1) \] Ustalimy, którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(126\). \[ 126=a_n \] \[ 126=6+2(n-1) \] \[ n=61 \] Z powyższego twierdzenia wynika, że \[ S_{61}=6+8+10+\ldots+126={6+126\over 2}\cdot 61=4026 \]

Wyznaczamy iloraz \({a_{n+1}\over a_n}\). \[ {a_{n+1}\over a_n}={4\cdot 5 ^{n+3}\over 4\cdot 5 ^{n+2}}=5 \quad \hbox{dla} \quad n\in \mathbb{N} \] Zatem dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) \[ a_{n+1}=a_n\cdot 5, \] więc ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=5\).

Wyznaczamy iloraz \({a_{n+1}\over a_n}\). \[ {a_{n+1}\over a_n}={3(n+1)+2\over 3n+2}={3n+5\over 3n+2} \quad \hbox{dla} \quad n\in \mathbb{N} \] Ponieważ iloraz ten nie jest wartością stałą, więc nie istnieje liczba rzeczywista \(q\) taka, że \(a_{n+1}=a_n\cdot q\). Oznacza to, że ciąg \(\left(a_n\right)\) nie jest ciągiem geometrycznym.

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i otrzymujemy \[ \cases{a_5=a_1\cdot q^4\cr a_8=a_1\cdot q^7\cr} \] Po podstawieniu \(a_5=12\) i \(a_8=96\) otrzymujemy układ równań \[ \cases{ a_1\cdot q^4=12\cr a_1\cdot q^7=96\cr } \] Jego rozwiązaniem jest \[ \cases{ a_1={3\over 4}\cr q=2\cr } \] Zatem wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) ma postać \[ a_n={3\over 4}\cdot 2^{n-1} \] \[ a_n=3\cdot 2^{n-3} \]

Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i otrzymujemy \[ \cases{a_2=a_1\cdot q\cr a_7=a_1\cdot q^6\cr} \] Po podstawieniu \(a_2=-3\) i \(a_7=21\) otrzymujemy układ równań \[ \cases{ a_1\cdot q=-3\cr a_1\cdot q^6=21\cr } \] Jego rozwiązaniem jest \[ \cases{ a_1={3\over \root 5 \of {7}}\cr q=-\root 5 \of {7}\cr } \] Zatem wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) ma postać \[ a_n={3\over \root 5 \of {7}}\cdot \left(-\root 5 \of {7}\right)^{n-1} \] \[ a_n=3(-1)^{n-1}\cdot \left(\root 5 \of {7}\right)^{n-2} \]

Łatwo zauważyć, że ciąg \(\left(a_n\right)\) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q={1\over \sqrt 2}\). Ponieważ jego pierwszy wyraz \(a_1={1\over \sqrt 2}\) jest dodatni i iloraz \(q={1\over \sqrt 2}\) jest mniejszy od \(1\), to zgodnie z powyższym twierdzeniem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest malejący.

Wyznaczymy pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego \((a_n)\), wiedząc, że \(a_2=6\) i \(a_5=48\). Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisujemy \[a_2=a_1q \quad\wedge\quad a_5=a_1q^4, \quad \hbox{gdzie}\quad a_1\neq 0\quad \wedge \quad q\neq 0\] Zatem iloraz podanych wyrazów ciągu wynosi \[\frac{a_5}{a_2}=\frac{a_1q^4}{a_1q}=q^3\] \[\frac{48}{6}=q^3\] \[8=q^3\] \[2=q\] Skoro \(a_2=a_1q=6\), to \(a_1=3\). Ponieważ pierwszy wyraz ciągu \(\left(a_n\right)\) jest dodatni i iloraz jest większy od \(1\), to zgodnie z powyższym twierdzeniem ciąg \(\left(a_n\right)\) jest rosnący.

Ponieważ \(2+4+8+\ldots+2^n\) to suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \(a_n=2^n\) (o ilorazie \(q=2\)), więc \[ S_n=2+4+8\ldots+2^n=2\cdot{1-2^n\over 1-2}=2^{n+1}-2 \]

Ponieważ \[ 1+3+9+\ldots+3^n=3^0+3^1+3^2+\ldots+3^n, \] to mamy obliczyć sumę \(n+1\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \(a_n=3^{n-1}\) (o ilorazie \(q=3\)), więc \[ S_{n+1}=1+3+9+\ldots+3^n=1\cdot{1-3^{n+1}\over 1-3}=-{1\over 2}\left(1-3^{n+1}\right) \]

Ponieważ \[ {1\over 8}+{1\over 16}+{1\over 32}+\ldots+{1\over 1024}={1\over 2^3}+{1\over 2^4}+{1\over 2^5}+\ldots+{1\over 2^{10}}, \] to obliczamy sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego \(a_n={1\over 2^{n+2}}\) (o ilorazie \(q={1\over 2}\)), więc \[ S_8={1\over 8}+{1\over 16}+{1\over 32}+\ldots+{1\over 1024}={1\over 8}\cdot{1-\left({1\over 2}\right)^{8}\over 1-{1\over 2}}={255\over 1024} \]