Elipsa

Definicja

Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, których suma odległości od dwóch ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami elipsy, jest wielkością stałą i równą \(2a\), gdzie \(2a>\vert F_1F_2\vert\), tzn. \[\czerwony{\boldsymbol{\vert PF_1\vert +\vert PF_2\vert =2a}}\] Środek odcinka \(F_1F_2\) nazywamy środkiem elipsy, a jego długość – ogniskową. Jeżeli przez \(A_1\) i \(A_2\) oznaczymy punkty przecięcia elipsy z prostą przechodzącą przez jej ogniska, to odcinek \(A_1A_2\) nazywamy osią wielką elipsy. Jeżeli przez \(B_1\) i \(B_2\) oznaczymy punkty przecięcia elipsy z symetralną osi wielkiej, to odcinek \(B_1B_2\) nazywamy osią małą elipsy.

Elipsa

Twierdzenie

Jeżeli ogniskami elipsy są punkty \(F_1(-c,0)\) i \(F_2=(c,0)\) oraz długość osi wielkiej jest równa \(2a\), gdzie \(0\leq c<a\), to równanie elipsy wyraża się wzorem \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(b^2=\sqrt{a^2-c^2}\). Długość osi małej wynosi wtedy \(2b\), gdzie \(b\leq a\).

Elipsa o osi wielkiej 2a i osi małej 2b.

Elipsa o równaniu \({x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\), \(b<a\)

Uwaga

Jeżeli w równaniu \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\] \(a<b\), to opisuje ono elipsę, której ogniska i oś wielka leżą na osi \(Oy\).

Uwaga

Jeżeli \(a=b\), to równanie elipsy \({x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\) opisuje okrąg o środku \(O(0,0)\) i promieniu \(r=a\).

Twierdzenie

Jeżeli przesuniemy elipsę opisaną wzorem \({x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1\) o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\), to jej równanie będzie miało postać \[{\left(x-p\right)^2\over a^2}+{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\]

Zadanie

Znajdź ogniska i długości osi wielkiej oraz osi małej elipsy o równaniu:

\(\displaystyle {x^2\over 25}+{y^2\over 4} = 1\)
Z równania elipsy odczytujemy, że \(a=5\) i \(b=2\). Zatem dla \(a>b\) długość osi wielkiej to \(2a=10\), a długość osi małej to \(2b=4\). Ponieważ \(b^2=a^2-c^2\), to \[c^2=a^2-b^2=25-4=21\] Wynika stąd, że ogniskami elipsy są punkty \[F_1\left(-\sqrt{21},0\right),\quad F_2\left(\sqrt{21},0\right)\]
\(\displaystyle {x^2\over 9}+{y^2\over 16} = 1\)
Z równania elipsy odczytujemy, że \(a=3\) i \(b=4\). Ponieważ \(a<b\), zatem długość osi wielkiej to \(2b=8\), a długość osi małej to \(2a=6\). Ponieważ \[c^2=b^2-a^2=16-9=7,\] więc ogniskami elipsy są punkty \[F_1\left(0,\sqrt{7}\right),\quad F_2\left(0,\sqrt{7}\right)\]
\(\displaystyle {x^2\over 2}+{y^2\over 3} = 7\)
Ponieważ prawa strona tego równania nie jest równa \(1\), musimy je uporządkować, dzieląc stronami przez \(7\) \[{x^2\over 14}+{y^2\over 21} = 1\] Z równania elipsy odczytujemy, że \(a=\sqrt{14}\) i \(b=\sqrt{21}\). Ponieważ \(a<b\), zatem długość osi wielkiej to \(2b=2\sqrt{21}\), a długość osi małej to \(2a=2\sqrt{14}\). Ponieważ \[c^2=b^2-a^2=21-14=7,\] więc ogniskami elipsy są punkty \[F_1\left(0,\sqrt{7}\right),\quad F_2\left(0,\sqrt{7}\right)\]

Zadanie

Napisz równanie elipsy o ogniskach położonych na osi \(Ox\) symetrycznie względem początku układu współrzędnych, jeżeli dana jest długość osi wielkiej \(2a\) i osi małej \(2b\), gdzie:

\(2a=8\) i \(2b=4\)
Elipsę o ogniskach położonych na osi \(Ox\) symetrycznie względem początku układu współrzędnych opisuje równanie \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(a\) i \(b\) to połowa długości, odpowiednio osi wielkiej i małej. Ponieważ \(a=4\) i \(b=2\), to równanie danej elipsy wygląda następująco \[{x^2\over 16}+{y^2\over 4} = 1\]
\(2a=10\) i \(2b=6\)
Ponieważ \(a=5\) i \(b=3\), to dana elipsa opisana jest za pomocą wzoru \[{x^2\over 25}+{y^2\over 9} = 1\]

Zadanie

Napisz równanie elipsy o ogniskach położonych na osi \(Oy\) symetrycznie względem początku układu współrzędnych, jeżeli dana jest długość osi wielkiej \(2b\) i osi małej \(2a\), gdzie:

\(2a=2\) i \(2b=12\)
Elipsę o ogniskach położonych na osi \(Oy\) symetrycznie względem początku układu współrzędnych opisuje równanie \[{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2} = 1,\] gdzie \(a\) i \(b\) to połowa długości, odpowiednio osi małej i wielkiej. Ponieważ \(a=1\) i \(b=6\), to równanie danej elipsy wygląda następująco \[x^2+{y^2\over 36} = 1\]
\(2a=4\) i \(2b=14\)
Ponieważ \(a=2\) i \(b=7\), to szukana elipsa opisana jest za pomocą wzoru \[{x^2\over 4}+{y^2\over 49} = 1\]

Zadanie

Narysuj elipsę o podanym równaniu:

\(\displaystyle {x^2\over 9}+{y^2\over 4} = 1\)
Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(O(0,0)\). Ponieważ \(a=3\), \(b=2\) i \(a>b\), więc oś wielka o długości \(6\) leży na osi \(Ox\). Długość osi małej, leżącej na osi \(Oy\), wynosi \(2\).
\(5x^2+y^2 = 5\)
Ponieważ prawa strona równania nie jest równa \(1\), więc dzielimy obustronnie to równanie przez \(5\) i otrzymujemy \[x^2+{y^2\over 5} = 1\] Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(O(0,0)\). Ponieważ \(a=1\), \(b=\sqrt{5}\) i \(a<b\), więc oś wielka o długości \(2\sqrt{5}\) leży na osi \(Oy\). Długość osi małej, leżącej na osi \(Ox\), wynosi \(2\).
\(\displaystyle {\left(x-1\right)^2\over 16}+{\left(y+1\right)^2\over 9} = 1\)
Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(S(1,-1)\). Ponieważ \(a=4\), \(b=3\) i \(a>b\), więc długość jej osi wielkiej to \(8\), a osi małej to \(6\).
\(x^2 + 4y^2 + 2x + 16y + 16 = 0\)
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy \[x^2+2x + 4\left(y^2+4y\right) +16=0\] Przekształcimy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia. Ponieważ \(x^2+2x+1=(x+1)^2\), więc \(x^2+2x=(x+1)^2-1\). Analogicznie otrzymujemy \(y^2+4y=(y+2)^2-4\). Zatem równanie elipsy możemy przedstawić w postaci \[(x+1)^2-1 + 4\left[(y+2)^2-4\right] +16=0\] \[(x+1)^2-1 + 4(y+2)^2-16 +16=0\] \[(x+1)^2 + 4(y+2)^2=1\] \[(x+1)^2 + {(y+2)^2\over {1\over 4}}=1\] Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(S(-1,-2)\). Ponieważ \(a=1\), \(b={1\over 2}\) i \(a>b\), więc długość jej osi wielkiej to \(2\), a osi małej to \(1\).
\(2x^2 + 3y^2 -8x + 18y + 29 = 0\)
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy \[2\left(x^2-4x\right) + 3\left(y^2+6y\right) +29=0\] Przekształcimy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia \[2\left[(x-2)^2-4\right] + 3\left[(y+3)^2-9\right] +29=0\] \[2(x-2)^2-8 + 3(y+3)^2-27 +29=0\] \[2(x-2)^2 + 3(y+3)^2=6 /:6\] \[{(x-2)^2\over 3} + {(y+3)^2\over 2}=1\] Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(S(2,-3)\). Ponieważ \(a=\sqrt{3}\), \(b=\sqrt{2}\) i \(a>b\), więc długość jej osi wielkiej to \(2\sqrt{3}\), a osi małej to \(2\sqrt{2}\).
\(4x^2+y^2-8x-2y+1=0\)
Pogrupujemy wyrazy w równaniu elipsy \[4\left(x^2-2x\right) + \left(y^2-2y\right) +1=0\] Przekształcamy równanie elipsy, stosując wzory skróconego mnożenia \[4\left[(x-1)^2-1\right] + \left[(y-1)^2-1\right] +1=0\] \[4(x-1)^2-4 + (y-1)^2-1 +1=0\] \[4(x-1)^2 + (y-1)^2=4 /:4\] \[(x-1)^2 + {(y-1)^2\over 4}=1\] Powyższe równanie opisuje elipsę o środku w punkcie \(O(1,1)\). Ponieważ \(a=1\), \(b=2\) i \(a<b\), więc oś wielka o długości \(4\) jest równoległa do osi \(Oy\). Długość osi małej, równoległej do osi \(Ox\), wynosi \(2\).

Zadanie

Napisz równanie elipsy o ogniskach położonych na osi \(Ox\) symetrycznie względem początku układu współrzędnych, jeżeli długość osi wielkiej wynosi \(6\), a ogniskowa jest równa \(4\).

Z treści zadania wynika, że środek szukanej elipsy to początek układu współrzędnych. Ponieważ długość osi wielkiej jest równa \(6\), to \(6=2a\), więc \(a=3\) i elipsa przecina oś \(Ox\) w punktach \(A_1(-3,0)\) i \(A_2(3,0)\). Jeżeli ogniskowa (odległość między ogniskami) jest równa \(4\), to \(c=2\) i ogniska elipsy znajdują się w punktach \(F_1(-2,0)\) i \(F_2(2,0)\). Długość osi małej jest równa \(2b\), gdzie \(b^2=a^2-c^2\). Ponieważ \(b^2=9-4=5\), to elipsa przecina oś \(Oy\) w punktach \(B_1(0,-\sqrt{5})\) i \(B_2(0,\sqrt{5})\) i jej równanie to \[{x^2\over 9}+{y^2\over 5} = 1\]