Kwadrat różnicy
\[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]
Hiperbola
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch różnych, ustalonych punktów \(F_1\) i \(F_2\), zwanych ogniskami, jest wielkością stałą i równą \(2a\), tzn.
\[\czerwony{\boldsymbol{\big\vert \vert PF_1\vert - \vert PF_2\vert \big\vert=2a}}\]
Wierzchołkami hiperboli nazywamy punkty \(A_1\) i \(A_2\), w których hiperbola przecina prostą przechodzącą przez jej ogniska.
Hiperbola
Jeżeli ogniskami hiperboli są punkty \(F_1(-c,0)\) i \(F_2=(c,0)\), a jej wierzchołki to \(A_1(-a,0)\) i \(A_2(a,0)\), gdzie \(0<a<c\), to równanie hiperboli wyraża się wzorem
\[{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1,\]
gdzie \(b^2=c^2-a^2\).
Hiperbola ta posiada dwie asymptoty o równaniach:
\[y={b\over a}x, \qquad y=-{b\over a}x\]
Hiperbola
Definicja
Jeżeli \(a=b\), to hiperbolę nazywamy równoosiową.
Hiperbolę o równaniu
\[{y^2\over b^2}-{x^2\over a^2} = 1\]
nazywamy sprzężoną z hiperbolą opisaną równaniem \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\). Jej wierzchołkami są punkty \(B_1(0,-b)\) i \(B_2(0,b)\), a ogniskami punkty \(F_1(0,-c)\) i \(F_2(0,c)\), gdzie
\(c^2=a^2+b^2\).
Hiperbola
Twierdzenie
Jeżeli przesuniemy hiperbolę opisaną wzorem \({x^2\over a^2}-{y^2\over b^2} = 1\) o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\), to jej równanie będzie miało postać
\[{\left(x-p\right)^2\over a^2}-{\left(y-q\right)^2\over b^2} = 1\]
Zadanie
Wyznacz ogniska i asymptoty hiperboli o równaniu:
-
\(4x^2 - y^2 = 4\)Ponieważ prawa strona równania nie jest równa \(1\), to dzielimy przez \(4\) obie strony tego równania \[4x^2 - y^2 = 4 /: 4\] \[x^2 - {y^2\over 4} = 1\] Z tej postaci odczytujemy, że \(a=1\) i \(b=2\). Ponieważ \(c^2=a^2+b^2=1+4=5\), więc ogniskami hiperboli są punkty \(F_1(-\sqrt{5},0)\) i \(F_2(\sqrt{5},0)\), a jej asymptoty to proste o równaniach: \(y=-2x\) i \(y=2x\).
-
\(y^2-2x^2=18\)Równanie hiperboli można przedstawić w postaci \[{y^2\over 18} - {x^2\over 9} = 1\] Zatem \(b=\sqrt{18}\) i \(a=3\). Ponieważ \(c^2=a^2+b^2=18+9=27\), więc ogniskami hiperboli są punkty \(F_1(0,-3\sqrt{3})\) i \(F_2(0,3\sqrt{3})\), a równania jej asymptot to: \(y=-{\sqrt{18}\over 3}x\) i \(y={\sqrt{18}\over 3}x\).
Zadanie
Narysuj hiperbolę o równaniu:
-
\(4y^2-x^2=4\)Przekształcamy równanie hiperboli, dzieląc obie jego strony przez \(4\) \[y^2-{x^2\over 4}=1\] Z równania odczytujemy \(b=1\) i \(a=2\). Zatem wierzchołki hiperboli to punkty \(B_1(0,-1)\) i \(B_2(0,1)\), a równania jej asymptot to \(y=-{1\over 2}x\) i \(y={1\over 2}x\).
-
\(4x^2-y^2=36\)Przekształcamy równanie hiperboli, dzieląc obie jego strony przez \(36\) \[{x^2\over 9}-{y^2\over 36}=1\] Z równania odczytujemy \(a=3\) i \(b=6\). Zatem wierzchołki hiperboli to punkty \(A_1(-3,0)\) i \(A_2(3,0)\), a jej asymptoty to proste o równaniach \(y=-2x\) i \(y=2x\).
-
\(y^2 -2y -x^2 +2x - 4 = 0\)Pogrupujemy wyrazy w równaniu hiperboli \[\left(y^2-2y\right) -\left(x^2-2x\right)-4=0\] Przekształcamy równanie hiperboli, stosując wzory skróconego mnożenia. Ponieważ \((x-1)^2=x^2-2x+1\), więc \(x^2-2x=(x-1)^2-1\). Analogicznie otrzymujemy \(y^2-2y=(y-1)^2-1\). Zatem równanie hiperboli możemy przedstawić w postaci \[\left[(y-1)^2-1\right] -\left[(x-1)^2-1\right] -4=0\] \[(y-1)^2-1 -(x-1)^2+1 -4=0\] \[(y-1)^2-(x-1)^2=4 /:4\] \[{(y-1)^2\over 4} - {(x-1)^2\over 4}=1\] Narysujemy pomocniczo hiperbolę o równaniu \[{y^2\over 4}-{x^2\over 4}=1\] Jej wierzchołki to punkty \({A_1}'(0,-2)\) i \({A_2}'(0,2)\), a równania jej asymptot to \({l_1}':y=-x\) i \({l_2}':y=x\).Poszukiwana hiperbola powstaje przez przesunięcie o wektor \(\vec{v}=\left[1,1\right]\) hiperboli o równaniu \({y^2\over 4}-{x^2\over 4}=1\). Zatem jej wierzchołki to \(A_1(1,-1)\) i \(A_2(1,3)\). Równania asymptot to \[l_1:\ y=-(x-1)+1, \quad l_2:\ y=(x-1)+1\] \[l_1:\ y=-x+2, \quad l_2:\ y=x\]
