Wariacje z powtórzeniami
Definicja
Wariacją \(k\)-elementową z powtórzeniami utworzoną ze zbioru \(n\)-elementowego
nazywamy każdy \(k\)-wyrazowy ciąg niekoniecznie różnych elementów z tego zbioru.
Z definicji wynika, że wariacja z powtórzeniami może zawierać \(k\) nie zawsze różnych elementów
spośród danych \(n\) elementów oraz że istotna jest kolejność elementów wariacji. Co więcej, nie ma
ograniczenia liczby wyrazów wariacji z powtórzeniami, więc można tworzyć ciągi o większej liczbie
wyrazów niż liczba elementów zbioru, z którego je wybieramy.
Z \(k\)-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego mamy do czynienia wówczas, gdy \(k\) razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z danego zbioru \(n\)-elementowego.
Z \(k\)-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego mamy do czynienia wówczas, gdy \(k\) razy wybieramy po jednym elemencie ze zwracaniem z danego zbioru \(n\)-elementowego.
Przykład
Wyznaczymy wszystkie możliwe \(2\)-elementowe wariacje z powtórzeniami zbioru \(A=\{a,b,c\}\).
Zauważmy, że na pierwszym miejscu \(2\)-elementowej wariacji może stać jeden z trzech elementów:
\(a,\) \(b\) lub \(c\). Są więc trzy sposoby wyboru pierwszego elementu:
\(\left(a,-\right)\) albo \(\left(b,-\right)\), albo \(\left(c,-\right)\)
Na drugim miejscu \(2\)-elementowej wariacji z powtórzeniami również może stać jeden z elementów:
\(a,\) \(b\) lub \(c\). Zatem mamy trzy sposoby wyboru drugiego elementu:
\(\left(a,a\right)\) lub \(\left(a,b\right)\), lub \(\left(a,c\right)\), jeżeli jako
pierwszy wybraliśmy element \(a\)
\(\left(b,a\right)\) lub \(\left(b,b\right)\), lub \(\left(b,c\right)\), jeżeli jako
pierwszy wybraliśmy element \(b\)
\(\left(c,a\right)\) lub \(\left(c,b\right)\), lub \(\left(c,c\right)\), jeżeli jako
pierwszy wybraliśmy element \(c\)
Z elementów zbioru \(A\) można zatem utworzyć \(\czerwony{\boldsymbol 3}\cdot\niebieski{\boldsymbol 3}=3^2=9\)
następujących \(2\)-elementowych wariacji bez powtórzeń:
\(\left(a,a\right)\), \(\left(a,b\right)\), \(\left(a,c\right)\), \(\left(b,b\right)\), \(\left(b,c\right)\),
\(\left(c,b\right)\), \(\left(c,c\right)\)
Wygodnym sposobem zapisu jest w tym przypadku tabela.
| \(\) | \(a\) | \(b\) | \(c\) |
|---|---|---|---|
| \(a\) | \((a,a)\) | \((a,b)\) | \((a,c)\) |
| \(b\) | \((b,a)\) | \((b,b)\) | \((b,c)\) |
| \(c\) | \((c,a)\) | \((c,b)\) | \((c,c)\) |
Jeżeli \(W_n^k\) oznacza liczbę wszystkich możliwych \(k\)-elementowych wariacji z powtórzeniami
zbioru \(n\)-elementowego, to
\[W_n^k=n^k\]
Dziesięć kul ponumerowanych od \(1\) do \(10\) rozmieszczono w czterech szufladach
ponumerowanych od \(1\) do \(4\). Ile jest różnych rozmieszczeń?
Rozmieszczenie polega na przyporządkowaniu każdej kuli numeru szuflady, w której będzie umieszczona.
Mamy do czynienia z \(10\)-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru \(4\)-elementowego.
Różnych rozmieszczeń kul jest więc
\[W_4^{10}=4^{10}=1\ 048\ 576\]
Rzucamy \(n\) monetami. Ile istnieje wszystkich możliwych wyników rzutu?
Doświadczenie polega na rzucie \(n\) monetami. Każda moneta ma dwie możliwości: wypadnie orzeł
lub reszka. Mamy więc do czynienia z \(n\)-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru \(2\)-elementowego
\(\left\{O,R\right\}\). Wszystkich możliwych wyników jest \[W_2^n=2^n\]
Z talii \(52\) kart losujemy jedną kartę, zwracamy ją, karty tasujemy i losujemy drugą kartę.
Ile jest możliwych wyników losowania?
Ponieważ wylosowaną za pierwszym razem kartę zwracamy, możemy wylosować ją także za drugim razem.
Wszystkie możliwe wyniki losowania to \(2\)-wyrazowe wariacje z powtórzeniami \(52\)-elementowego
zbioru kart. Liczba wyników wynosi: \[W_{52}^2={52}^2=2704\]
W urnie znajduje się dziewięć kul ponumerowanych od \(1\) do \(9\). Losujemy kolejno trzy kule, zwracając
je za każdym razem po zapisaniu ich numerów. Ile różnych liczb trzycyfrowych możemy w ten sposób otrzymać?
Ponieważ wylosowaną kulę zwracamy do urny, to numery kul tworzące liczbę trzycyfrową mogą się
powtarzać. Każdej liczbie, utworzonej z numerów wylosowanych kul, odpowiada \(3\)-elementowa wariacja
z powtórzeniami \(9\)-elementowego zbioru numerów kul. Liczb takich jest \[W_9^3=9^3=729\]
Ile jest różnych wyników przy \(2\)-krotnym rzucie sześcienną kostką do gry, a ile przy \(6\)-krotnym
rzucie monetą?
Podczas \(2\)-krotnego rzutu kostką otrzymujemy \(2\)-wyrazowy ciąg liczb ze zbioru oczek
\(\{1,2,3,4,5,6\}\). Wyrazy tego ciągu mogą się powtarzać, mamy więc do czynienia z \(2\)-wyrazową
wariacją z powtórzeniami zbioru \(6\)-elementowego. Różnych wyników jest wówczas \[W_6^2=6^2=36\]
Można to zauważyć, ilustrując doświadczenie za pomocą tabeli.
Rzucając \(6\)-krotnie monetą, otrzymujemy \(6\)-wyrazowy ciąg elementów ze zbioru \(\{O,R\}\).
Wyrazy tego ciągu mogą się powtarzać, dlatego mamy do czynienia z \(6\)-wyrazową wariacją
z powtórzeniami zbioru \(2\)-elementowego. Różnych wyników mamy więc \[W_2^6=2^6=64\]
Do ilustracji tego doświadczenia wygodniej byłoby użyć drzewa. Jednak, z uwagi na dużą liczbę wyników,
byłoby je trudno zmieścić na kartce w zeszycie.
| \(\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \((1,1)\) | \((1,2)\) | \((1,3)\) | \((1,4)\) | \((1,5)\) | \((1,6)\) |
| \(2\) | \((2,1)\) | \((2,2)\) | \((2,3)\) | \((2,4)\) | \((2,5)\) | \((2,6)\) |
| \(3\) | \((3,1)\) | \((3,2)\) | \((3,3)\) | \((3,4)\) | \((3,5)\) | \((3,6)\) |
| \(4\) | \((4,1)\) | \((4,2)\) | \((4,3)\) | \((4,4)\) | \((4,5)\) | \((4,6)\) |
| \(5\) | \((5,1)\) | \((5,2)\) | \((5,3)\) | \((5,4)\) | \((5,5)\) | \((5,6)\) |
| \(6\) | \((6,1)\) | \((6,2)\) | \((6,3)\) | \((6,4)\) | \((6,5)\) | \((6,6)\) |
Ile jest wszystkich możliwych numerów telefonicznych rozpoczynających się od \(501\), a ile jest
wśród nich takich numerów, w których cyfry się nie powtarzają?
Każdy numer telefoniczny składa się z dziewięciu cyfr. Pierwsze trzy cyfry są już
ustalone: \(5,\) \(0,\) \(1\). Aby numer był kompletny, wystarczy go uzupełnić sześcioma cyframi.
Wszystkich możliwości mamy tyle, ile jest \(6\)-elementowych wariacji z powtórzeniami
\(10\)-elementowego zbioru cyfr \(\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}\), czyli
\[W_{10}^6={10}^6=1\ 000\ 000\]
Natomiast numerów, w których cyfry się nie powtarzają, można otrzymać tyle, ile jest
\(6\)-elementowych wariacji bez powtórzeń \(7\)-elementowego zbioru cyfr
\(\left\{2,3,4,6,7,8,9\right\}\), więc
\[V_7^6=\frac{7!}{\left(7-6\right)!}=7!=5040\]
Ile jest różnych funkcji działających ze zbioru \(X=\{x_1,x_2,x_3\}\)
do zbioru \(Y=\{y_1,y_2,y_3,y_4\}\)?
Zadanie polega na ustaleniu, ile jest możliwości przyporządkowania każdemu elementowi ze zbioru \(X\)
jednego elementu ze zbioru \(Y\). Ponieważ funkcja ta nie musi być różnowartościowa, to mamy do czynienia
z \(3\)-elementową wariacją z powtórzeniami \(4\)-elementowego zbioru \(Y\).
Zgodnie z twierdzeniem o liczbie wariacji z powtórzeniami liczba wszystkich funkcji działających ze zbioru \(X\)
w zbiór \(Y\) wynosi
\[W_4^3=4^3=64\]
Twierdzenie o liczbie wariacji z powtórzeniami
Jeżeli \(W_n^k\) oznacza liczbę wszystkich możliwych \(k\)-elementowych wariacji
z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego, to \[W_n^k=n^k\]
Jeżeli \(W_n^k\) oznacza liczbę wszystkich możliwych \(k\)-elementowych wariacji
z powtórzeniami zbioru \(n\)-elementowego, to \[W_n^k=n^k\]