Parabola
Definicja
Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów \(P\) płaszczyzny równoodległych od ustalonego punktu \(F\), zwanego ogniskiem paraboli, i ustalonej prostej \(l\), zwanej kierownicą paraboli, tzn. \[\czerwony{\boldsymbol{\vert PF\vert}} =\czerwony{\boldsymbol{d(P,l)}}\]
Punkt \(W\) przecięcia kierownicy oraz prostej przechodzącej przez ognisko i prostopadłej do kierownicy nazywamy wierzchołkiem paraboli.
Parabola
Jeżeli ogniskiem paraboli jest punkt \(F(\frac{1}{4a},0)\), a jej kierownicą jest prosta o równaniu \(x=-\frac{1}{4a}\), gdzie \(a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), to równanie paraboli wyraża się wzorem
\[x=ay^2\]
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W(0,0)\).
Parabola o równaniu \(x=ay^2\) dla \(a<0\)
Parabola o równaniu \(x=ay^2\) dla \(a>0\)
Uwaga
Analogicznie równanie \[y=ax^2,\]gdzie \(a\neq 0\), opisuje parabolę o ognisku w punkcie \(F(0,\frac{1}{4a})\) i kierownicy o równaniu \(y=-\frac{1}{4a}\), którą omawialiśmy w rozdziale Funkcja kwadratowa.
Fakt
Odległość ogniska od kierownicy paraboli o równaniu \(x=ay^2\) wynosi \(\frac{1}{2|a|}\).
Jeżeli przesuniemy parabolę opisaną wzorem \(x=ay^2\) o wektor \(\vec{v}=\left[p,q\right]\), to jej równanie będzie miało postać
\[x-p=a(y-q)^2\]
Zadanie
Znajdź ognisko, kierownicę i wierzchołek paraboli o równaniu:
-
\(y^2=-6x\)Przekształcamy najpierw równanie zadanej paraboli \[y^2=-6x\ \big/:(-6)\]\[x=-\frac{1}{6}y^2\] Teraz z równania odczytujemy, że \(a=-\frac{1}{6}\). Zatem ogniskiem tej paraboli jest punkt \(F(-\frac{3}{2},0)\), jej kierownicą prosta \(x=\frac{3}{2}\), a wierzchołkiem punkt \(W(0,0)\).
-
\(x^2=4y\)Przekształcamy najpierw równanie zadanej paraboli \[x^2=4y\ \big/:4\] \[y=\frac{1}{4}x^2\] Teraz z równania odczytujemy, że \(a=\frac{1}{4}\). Zatem ogniskiem tej paraboli jest punkt \(F(0,1)\), jej kierownicą prosta \(y=-1\), a wierzchołkiem punkt \(W(0,0)\).
-
\(3(y-1)^2+2=x\)Przekształcamy najpierw równanie zadanej paraboli \[3(y-1)^2+2=x\ \big/-2\]\[x-2=3(y-1)^2\] Widzimy teraz, że \(a=3\), \(p=2\) i \(q=1\), czyli zadana parabola powstaje w wyniku przesunięcia o wektor \(\czerwony{\boldsymbol{\vec{v}=[2,1]}}\) paraboli o równaniu \(x=3y^2\), której ogniskiem jest punkt \(F\left(\frac{1}{12},0\right)\), kierownicą prosta \(x=-\frac{1}{12}\), a wierzchołkiem punkt \(W(0,0)\). Zatem po translacji o wektor \(\czerwony{\boldsymbol{\vec{v}=[2,1]}}\) ogniskiem zadanej paraboli jest punkt \[F'=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[2,1]}}}(F)=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[2,1]}}}\left(\frac{1}{12},0\right)=\left(\frac{1}{12} +\czerwony{\boldsymbol{2}},0+\czerwony{\boldsymbol{1}}\right) = \left(\frac{25}{12},1\right),\] kierownicą tej paraboli jest prosta \[x-\czerwony{\boldsymbol{2}}=-\frac{1}{12}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{23}{12},\] a jej wierzchołkiem jest punkt \[W'=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[2,1]}}}(W)=\mathrm{T}_{\czerwony{\boldsymbol{[2,1]}}}(0,0)=(0+\czerwony{\boldsymbol{2}},0+\czerwony{\boldsymbol{1}})=(2,1)\]
Zadanie
Narysuj parabolę o równaniu:
-
\(y^2=x\)Widzimy, że równanie \(y^2=x\) opisuje parabolę, której wierzchołkiem jest punkt \((0,0)\) i osią symetrii jest oś \(Ox\). Dodatkowo ramiona tej paraboli skierowane są w prawo, ponieważ współczynnik \(a=1\) jest dodatni. Zatem parbola \(y^2=x\) wygląda tak, jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2=-2x\)Przekształcamy równanie zadanej paraboli \[y^2=-2x\ \big/:(-2)\]\[x=-\frac{1}{2}y^2\] Ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) jest ujemny, to ramiona tej paraboli skierowane są w lewo. Jej wierzchołkiem jest punkt \((0,0)\), jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2=x-2\)Widzimy, że \(a=1\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}}\ 0\), \(p=2\) i \(q=0\), więc ramiona paraboli \(y^2=x-2\) skierowane są w prawo, a jej wierzchołkiem jest punkt \((2,0)\), jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2=-2x+4\)Przekształcamy równanie zadanej paraboli \[y^2=-2x+4 \quad \Longleftrightarrow\quad y^2=-2(x-2) \quad \Longleftrightarrow\quad x-2=-\frac{1}{2}y^2\] Widzimy teraz, że \(a=-\frac{1}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\lt}}\ 0\), więc ramiona skierowane są w lewo. Ponieważ \(p=2\) i \(q=0\), to wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \((2,0)\), jak na poniższym rysunku.
-
\((y-1)^2=x+3\)Ponieważ \(a=1\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}}\ 0\), \(p=-3\) i \(q=1\), to ramiona paraboli skierowane są w prawo, a wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \((-3,1)\), jak na poniższym rysunku.
-
\(y^2-4y=2x+6\)Przekształcamy równanie zadanej paraboli \[y^2-4y+4=2x+10 \quad\Longleftrightarrow\quad (y-2)^2=2(x+5) \quad\Longleftrightarrow\quad x+5=\frac{1}{2}(y-2)^2\] Widzimy teraz, że \(a=\frac{1}{2}\ \czerwony{\boldsymbol{\gt}}\ 0\), \(p=-5\) i \(q=2\). Zatem parbola \(y^2-4y=2x+6\) ma wierzchołek w punkcie \((-5,2)\) i ramiona skierowane w prawo, jak na poniższym rysunku.
