Różnica kwadratów\[a^2- b^2=(a+b)(a-b)\]
Kwadrat sumy\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Zauważmy, że dla dowolnych liczb zespolonych \((a,0)\) i \((b,0)\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), zachodzą równości \[(a,0)+(b,0)=(a+b,0)\quad\hbox{oraz}\quad (a,0)\cdot (b,0)=(a\cdot b,0)\] Możemy więc w dużym uproszczeniu powiedzieć, że działania na tych liczbach zespolonych wykonuje się jak na liczbach rzeczywistych, dlatego każdą liczbę zespoloną postaci \((x,0)\), gdzie \(x\in\mathbb{R}\), będziemy utożsamiać z liczbą rzeczywistą \(x\).
Definicja
Liczbę zespoloną \((0,1)\) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem \(\mathrm{i}\).
Uwaga
W zastosowaniach technicznych jednostkę urojoną często oznacza się przez \(\mathrm{j}\), aby nie myliła się z oznaczeniem natężenia prądu \(i\).
Uwaga
Jednostka urojona ma niespotykaną wśród liczb rzeczywistych własność \(\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2=-1}}\), ponieważ \[\mathrm{i}^2=(0,1)^2=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)=-1\] Zatem liczba zespolona \(\mathrm{i}\) jest jednym z zespolonych rozwiązań równania \[z^2=-1\] Drugim rozwiązaniem zespolonym tego równania jest liczba do niej przeciwna \(-\mathrm{i}\), ponieważ \[(-\mathrm{i})^2=(0,-1)^2=(0,-1)\cdot (0,-1)=\big(0\cdot 0-(-1)\cdot (-1),0\cdot (-1)+(-1)\cdot 0\big)=(-1,0)=-1\]
Zauważmy, że dla dowolnej liczby zespolonej \(b=(b,0)\), gdzie \(b\in\mathbb{R}\), zachodzi równość \[b\cdot \mathrm{i}=(b,0)\cdot (0,1)=(b\cdot 0-0\cdot 1, b\cdot 1+0\cdot 0)=(0,b)\] Zatem dowolną liczbę zespoloną \(z=(a,b)\), gdzie \(a,b\in\mathbb{R}\), możemy zapisać w postaci \[z=(a,b)=(a,0)+(0,b)\overset{\czerwony{\boldsymbol *}}{=}a+b\:\!\mathrm{i}\] W miejscu oznaczonym \(\czerwony{\boldsymbol *}\) skorzystaliśmy z faktu, że liczby postaci \((a,0)\) i \((b,0)\) utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi \(a\) i \(b\). Postać liczby zespolonej \[z=a+b\:\!\mathrm{i},\quad \hbox{gdzie}\quad a,b\in\mathbb{R},\] nazywamy postacią algebraiczną.
Definicja
Niech dana będzie liczba zespolona \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\). Liczbę \(a \in \mathbb{R}\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej \(z\) i oznaczamy symbolem \(\mathrm{Re}\, z\), a liczbę \(b \in \mathbb{R}\) jej częścią urojoną oznaczaną przez \(\mathrm{Im}\, z\), czyli \[a=\mathrm{Re}\, z\quad \hbox{oraz} \quad b=\mathrm{Im}\, z\] Jeżeli \(\mathrm{Im}\, z=0\), to liczba \(z\) jest liczbą rzeczywistą. Gdy \(\mathrm{Re}\, z=0\), \(z\) nazywamy liczbą urojoną.
Przykład
Wyznaczymy część rzeczywistą i część urojoną podanych liczb zespolonych.
  • Jeżeli \(z=2-3\mathrm{i}\), to \(\mathrm{Re}\, z=2\) i \(\mathrm{Im}\, z=-3\).
  • Jeżeli \(z=-4+\mathrm{i}\), to \(\mathrm{Re}\, z=-4\) i \(\mathrm{Im}\, z=1\).
  • Jeżeli \(z=5\), to \(\mathrm{Re}\, z=5\) i \(\mathrm{Im}\, z=0\).
  • Jeżeli \(z=-\mathrm{i}\sqrt{3}\), to \(\mathrm{Re}\, z=0\) i \(\mathrm{Im}\, z=-\sqrt{3}\).
Twierdzenie (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Jeżeli \(z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}\), to \[ z_{1}=z_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{Re}\, z_1 =\mathrm{Re}\, z_2 \ \wedge \ \mathrm{Im}\, z_1 = \mathrm{Im}\, z_2\]
Definicja
Niech \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) będzie dowolną liczbą zespoloną. Liczbą sprzężoną z liczbą \(z\) nazywamy liczbę zespoloną \[\overline{z} =a-b\:\!\mathrm{i}\]
Przykład
Wyznaczymy liczby sprzężone z podanymi liczbami zespolonymi.
  • Jeżeli \(z=3-4\:\!\mathrm{i}\), to \(\overline{z}=3+4\:\!\mathrm{i}\).
  • Jeżeli \(z=-1+\mathrm{i}\), to \(\overline{z}=-1-\mathrm{i}\).
  • Jeżeli \(z=\sqrt[3]2\), to \(\overline{z}=\sqrt[3]2\).
  • Jeżeli \(z=-5\:\!\mathrm{i}\), to \(\overline{z}=5\:\!\mathrm{i}\).
Fakt (własności sprzężenia liczby zespolonej)
Dla dowolnych liczb zespolonych \(z\), \(z_1\), \(z_2\) zachodzą wzory:
  1. \(\displaystyle \overline{ \bar z}=z\)
  2. \(\displaystyle \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
  3. \(\displaystyle \overline{z_1-z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}\)
  4. \(\displaystyle \overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)
  5. \(\displaystyle \overline{\left(\frac{z_1}{z_2} \right)}= \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\), o ile \(\ z_2\neq 0\)
Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy, stosując przekształcenia algebraiczne i pamiętając, że \(\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2=-1}}\). Wówczas dla dowolnych liczb zespolonych \(a+b\:\!\mathrm{i}\) oraz \(c+d\:\!\mathrm{i}\) możemy obliczyć:
  • sumę \[(a+b\:\!\mathrm{i})+(c+d\:\!{\mathrm{i}})=(a+c)+(b+d)\:\!{\mathrm{i}}\]
  • różnicę \[(a+b\:\!\mathrm{i})-(c+d\:\!\mathrm{i})=(a-c)+(b-d)\:\!\mathrm{i}\]
  • iloczyn \[\eqalign{(a+b\:\!\mathrm{i})\cdot(c+d\:\!\mathrm{i})&=ac+ad\:\!{\mathrm{i}}+bc\:\!\mathrm{i}+bd\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}=ac+ad\:\!{\mathrm{i}}+bc\:\!\mathrm{i}+bd\cdot\czerwony{\boldsymbol{(-1)}}=\cr&=(ac-bd)+(ad+bc)\:\!\mathrm{i}\cr}\]
  • iloraz, o ile \(c+d\:\!\mathrm{i}\ne 0\), domnażając licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną z liczbą stojącą w mianowniku i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \[\eqalign{\frac{a+b\:\!\mathrm{i}}{c+d\:\!\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\:\!\mathrm{i})\cdot\zielony{\boldsymbol{(c-d\:\!\mathrm{i})}}}{(c+d\:\!\mathrm{i})\cdot\zielony{\boldsymbol{(c-d\:\!\mathrm{i})}}}=\frac{ac-ad\:\!\mathrm{i}+bc\:\!\mathrm{i}-bd\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}}{c^2-d^2\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}} =\frac{ac\ \czerwony{\boldsymbol+}\ bd+(ad-bd )\cdot\mathrm{i}}{c^2\ \czerwony{\boldsymbol+}\ d^2}=\cr &={\frac{ac+bd}{c^2+d^2}} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\:\!\mathrm{i}\cr}\]
Zadanie
Wykonaj działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:
  1. \((2+3\:\!\mathrm{i})+(4-2\:\!\mathrm{i})\)
    Grupujemy wyrazy podobne i otrzymujemy \[(2+3\:\!\mathrm{i})+(4-2\:\!\mathrm{i})=2+4+(3-2)\mathrm{i}=6+\mathrm{i}\]
  2. \((4-\:\!\mathrm{i})-(2+5\:\!\mathrm{i})\)
    Grupujemy wyrazy podobne i otrzymujemy \[(4-\:\!\mathrm{i})-(2+5\:\!\mathrm{i})=4-2+(-1-5)\mathrm{i}=2-6\:\!\mathrm{i}\]
  3. \((2-2\:\!\mathrm{i})\cdot (-3+2\:\!\mathrm{i})\)
    Opuszczamy nawiasy i grupujemy wyrazy podobne \[(2-2\:\!\mathrm{i})\cdot (-3+2\:\!\mathrm{i})=-6+4\:\!\mathrm{i}+6\:\!\mathrm{i}-4\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}=-6\ \czerwony{\boldsymbol{+}}\ 4+(4+6)\:\!\mathrm{i}=-2+10\:\!\mathrm{i}\]
  4. \(\displaystyle\frac{3-2\:\!\mathrm{i}}{4-2\:\!\mathrm{i}}\)
    Domnażamy licznik i mianownik przez liczbę \(\zielony{\boldsymbol{4+2\:\!\mathrm{i}}}\) sprzężoną z liczbą \(4-2\:\!\mathrm{i}\) stojącą w mianowniku, a następnie korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \[\eqalign{\frac{3-2\:\!\mathrm{i}}{4-2\:\!\mathrm{i}}&=\frac{(3-2\:\!\mathrm{i})\cdot \zielony{\boldsymbol{(4+2\:\!\mathrm{i})}}}{(4-2\:\!\mathrm{i})\cdot \zielony{\boldsymbol{(4+2\:\!\mathrm{i})}}}=\frac{12+6\:\!\mathrm{i}-8\:\!\mathrm{i}-4\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}}{16-4\:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}}=\frac{12\ \czerwony{\boldsymbol +}\ 4+(6-8)\:\!\mathrm{i}}{16\ \czerwony{\boldsymbol +}\ 4}=\cr &=\frac{16-2\:\!\mathrm{i}}{20}=\frac{4}{5}-\frac{1}{10}\:\!\mathrm{i}\cr}\]
Przykład
Wiemy już, że \(\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2=-1}}\). Obliczymy teraz kolejne potęgi dodatnie jednostki urojonej: \[\eqalign{&\mathrm{i}^3=\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}\cdot \mathrm{i}=\czerwony{\boldsymbol{(-1)}}\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}\cr &\mathrm{i}^4=\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}\cdot \czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}=\czerwony{\boldsymbol{(-1)}}\cdot \czerwony{\boldsymbol{(-1)}}=1 \cr &\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4\cdot \mathrm{i}=1\cdot \mathrm{i}=\mathrm{i}\cr &\mathrm{i}^6=\mathrm{i}^4\cdot \czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}=1\cdot \czerwony{\boldsymbol{(-1)}}=-\mathrm{i}\cr}\] Możemy zauważyć, że potęgi dodatnie jednostki urojonej przyjmują cyklicznie tylko cztery różne wartości: \[\eqalign {& \mathrm{i}^1=\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^2=-1,\quad \mathrm{i}^3=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^4=1, \\ & \mathrm{i}^5=\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^6=-1,\quad \mathrm{i}^7=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^8=1, \ \ldots }\]
Uwaga
Z powyższego przykładu wynika, że dla \(n\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}\) oraz \(k\in\left\{0,1,2,3\right\}\) prawdziwy jest wzór na potęgi dodatnie jednostki urojonej \[\mathrm{i}^{4n+k} = \mathrm{i}^k\]
Zadanie
Korzystając z powyższego wzoru, oblicz podane potegi jednostki urojonej:
  1. \(\mathrm{i}^{100}\)
    Ponieważ \(100=4\cdot 25 + \czerwony{\boldsymbol{0}}\), to otrzymujemy\[\mathrm{i}^{100}=\mathrm{i}^{4\cdot 25 + \czerwony{\boldsymbol{0}}}=\mathrm{i}^\czerwony{\boldsymbol{0}}=1\]
  2. \(\mathrm{i}^{21}\)
    Ponieważ \(21=4\cdot 5 + \czerwony{\boldsymbol{1}}\), to otrzymujemy\[\mathrm{i}^{21}=\mathrm{i}^{4\cdot 5 + \czerwony{\boldsymbol{1}}}=\mathrm{i}^\czerwony{\boldsymbol{1}}=\mathrm{i}\]
  3. \(\mathrm{i}^{34}\)
    Ponieważ \(34=4\cdot 8 + \czerwony{\boldsymbol{2}}\), to otrzymujemy\[\mathrm{i}^{34}=\mathrm{i}^{4\cdot 8 + \czerwony{\boldsymbol{2}}}=\mathrm{i}^\czerwony{\boldsymbol{2}}=-1\]
  4. \(\mathrm{i}^{43}\)
    Ponieważ \(43=4\cdot 10 + \czerwony{\boldsymbol{3}}\), to otrzymujemy\[\mathrm{i}^{43}=\mathrm{i}^{4\cdot 10 + \czerwony{\boldsymbol{3}}}=\mathrm{i}^\czerwony{\boldsymbol{3}}=-\mathrm{i}\]
Przykład
Obliczymy teraz kolejne potęgi ujemne jednostki urojonej, czyli odwrotności znanych nam już potęg dodatnich: \[\eqalign{&\mathrm{i}^{-1}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}^1}}} = \frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}}}}\cdot \frac{\zielony{\boldsymbol{\mathrm{i}}}}{\zielony{\boldsymbol{\mathrm{i}}}}= \frac{\mathrm{i}}{\mathrm{i}^2}=\frac{\mathrm{i}}{-1}=-\mathrm{i}\cr & \mathrm{i}^{-2}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{-1}}}=-1 \cr & \mathrm{i}^{-3}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}^3}}}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{-\mathrm{i}}}}=-\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}^{-1}=-(-\mathrm{i})=\mathrm{i}\cr & \mathrm{i}^{-4}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}^4}}}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{1}}}=1\cr & \mathrm{i}^{-5}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}^5}}}=\frac{1}{\niebieski{\boldsymbol{\mathrm{i}}}}= \mathrm{i}^{-1}=-\mathrm{i}\cr}\] Możemy zauważyć, że potęgi ujemne jednostki urojonej przyjmują cyklicznie tylko cztery różne wartości: \[\eqalign {& \mathrm{i}^{-1}=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^{-2}=-1,\quad \mathrm{i}^{-3}=\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^{-4}=1, \\ & \mathrm{i}^{-5}=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^{-6}=-1,\quad \mathrm{i}^{-7}=-\mathrm{i},\quad \mathrm{i}^{-8}=1, \ \ldots }\]
Uwaga
Z powyższego przykładu wynika, że dla \(n\in\mathbb{N}\cup\left\{0\right\}\) oraz \(k\in\left\{0,1,2,3\right\}\) prawdziwy jest wzór na potęgi ujemne jednostki urojonej \[\mathrm{i}^{-4n-k} = \mathrm{i}^{-k}\]
Zadanie
Korzystając z powyższego wzoru, oblicz podane potegi jednostki urojonej:
  1. \(\mathrm{i}^{-11}\)
    Ponieważ \(-11=-4\cdot 2 \czerwony{\boldsymbol{\: -\: 3}}\), to otrzymujemy \[\mathrm{i}^{-11}= \mathrm{i}^{-4\cdot 2 \czerwony{\boldsymbol{-3}}}= \mathrm{i}^{\czerwony{\boldsymbol{-3}}} =\mathrm{i} \]
  2. \(\mathrm{i}^{-22}\)
    Ponieważ \(-22=-4\cdot 5 \czerwony{\boldsymbol{\: -\: 2}}\), to otrzymujemy \[\mathrm{i}^{-22}= \mathrm{i}^{-4\cdot 5 \czerwony{\boldsymbol{-2}}}= \mathrm{i}^{\czerwony{\boldsymbol{-2}}} =-1 \]
  3. \(\mathrm{i}^{-53}\)
    Ponieważ \(-53=-4\cdot 13 \czerwony{\boldsymbol{\: -\: 1}}\), to otrzymujemy \[\mathrm{i}^{-53}= \mathrm{i}^{-4\cdot 13 \czerwony{\boldsymbol{-1}}}= \mathrm{i}^{\czerwony{\boldsymbol{-1}}} =-\mathrm{i} \]
  4. \(\mathrm{i}^{-112}\)
    Ponieważ \(-112=-4\cdot 28 \czerwony{\boldsymbol{\: -\: 0}}\), to otrzymujemy \[\mathrm{i}^{-112}= \mathrm{i}^{-4\cdot 28 \ \czerwony{\boldsymbol{-0}}}= \mathrm{i}^{\czerwony{\boldsymbol{-0}}} = 1\]
Znając reguły działań na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej, możemy wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną bardziej rozbudowanych liczb zespolonych. W poniższym zadaniu wykorzystamy do tego celu odpowiednie wzory skróconego mnożenia oraz definicję sprzężenia liczby zespolonej.
Zadanie
Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej \(z\), jeżeli:
  1. \(z=(2+3\:\!\mathrm{i})^2\cdot\overline{(3-\mathrm{i})}\)
    Ponieważ \[(2+3\:\!\mathrm{i})^2=4+6\:\!\mathrm{i}+9\:\!\mathrm{i}^2=-5+6\:\!\mathrm{i}\] oraz \[\overline{(3-\mathrm{i})}=3+\mathrm{i},\] to liczbę \(z\) możemy zapisać w postaci \[z=(2+3\:\!\mathrm{i})^2\cdot\overline{(3-\mathrm{i})}=(-5+6\:\!\mathrm{i})\cdot(3+\:\!\mathrm{i})= -15-5\:\!\mathrm{i}+18\:\!\mathrm{i}+6\:\!\mathrm{i}^2=-21+13\:\!\mathrm{i}\] Widzimy teraz, że \[\text{Re}\,z=-21,\quad \text{Im}\, z=13\]
  2. \(z=\mathrm{Im}\,\overline{(1-3\:\!\mathrm{i})}+\mathrm{Re}(2-\mathrm{i})^2\)
    Ponieważ \[\overline{(1-3\:\!\mathrm{i})}=1+3\:\!\mathrm{i}\] oraz \[(2-\mathrm{i})^2=4-4\:\!\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=3-4\:\!\mathrm{i},\] to liczbę \(z\) możemy zapisać w postaci \[z=\mathrm{Im}\,\overline{(1-3\:\!\mathrm{i})}+\mathrm{Re}(2-\mathrm{i})^2=\mathrm{Im}\,(1+3\:\!\mathrm{i})+\mathrm{Re}(3-4\:\!\mathrm{i})=3+3=6\] Zatem \[\text{Re}\,z=6,\quad \text{Im}\, z=0\]
  3. \(\displaystyle z=\frac{\mathrm{Im}\,\left[(1+2\:\!\mathrm{i})\cdot\overline{(2+\mathrm{i})}\right]}{3+4\:\!\mathrm{i}}\)
    Skoro \(\overline{(2+\mathrm{i})}=2-\mathrm{i},\) to \[\eqalign{z&=\frac{\mathrm{Im}\,\left[(1+2\:\!\mathrm{i})\cdot\overline{(2+\mathrm{i})}\right]}{3+4\:\!\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{Im}\,\left[(1+2\:\!\mathrm{i})\cdot(2-\mathrm{i})\right]}{3+4\:\!\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{Im}\,\left(2-\mathrm{i}+4\:\!\mathrm{i}-2\:\!\mathrm{i}^2\right)}{3+4\:\!\mathrm{i}}=\cr& =\frac{\mathrm{Im}\,\left(4+3\:\!\mathrm{i}\right)}{3+4\:\!\mathrm{i}}=\frac{3\cdot\zielony{\boldsymbol{(3-4\:\!\mathrm{i})}}}{(3+4\:\!\mathrm{i})\cdot \zielony{\boldsymbol{(3-4\:\!\mathrm{i})}}}= \frac{9-12\:\!\mathrm{i}}{9-16\:\!\mathrm{i}^2}=\frac{9-12\:\!\mathrm{i}}{25}=\frac{9}{25}-\frac{12}{25}\:\!\mathrm{i}\cr}\] Zatem \[\text{Re}\,z=\frac{9}{25},\quad \text{Im}\, z=\frac{12}{25}\]