Zbiór \(\mathbb{C}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\) nazywamy zbiorem liczb zespolonych, a jego elementy – liczbami zespolonymi. Liczby zespolone można zapisać w postaci kartezjańskiej, algebraicznej, trygonometrycznej lub wykładniczej.

Postacią kartezjańską liczby zespolonej nazywamy postać \[z=(a,b),\quad \hbox{gdzie}\quad a,b\in\mathbb{R}\]

Równość liczb zespolonych zapisanych w postaci kartezjańskiej \(z_1=(a,b)\) i \(z_2=(c,d)\) \[z_1=z_2\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\ \wedge\ b=d\]

Działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci kartezjańskiej \(z_1=(a,b)\) i \(z_2=(c,d)\):

• suma i różnica \[(a,b) \pm (c,d) = (a\pm c,b\pm d)\]
• iloczyn \[(a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc)\]

Postacią algebraiczną liczby zespolonej nazywamy postać \[z=a+b\:\!\mathrm{i},\quad \hbox{gdzie}\quad a,b\in\mathbb{R},\] w której liczba rzeczywista \(a=\mathrm{Re}\, z\) jest częścią rzeczywistą, liczba rzeczywista \(b=\mathrm{Im}\, z\) jest częścią urojoną liczby zespolonej \(z\), a liczba zespolona \(\mathrm{i}=(0,1)\) jest jednostką urojoną.

Liczbą sprzężoną z liczbą zespoloną \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) nazywamy liczbę zespoloną \[\overline{z} =a-b\:\!\mathrm{i}\] Własności sprzężenia liczb zespolonych \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\):

Równość liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej \(z_1=a+b\:\!\mathrm{i}\) i \(z_2=c+d\:\!\mathrm{i}\) \[z_1=z_2\quad\Longleftrightarrow\quad a =c \ \wedge \ b = d\]

Działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej \(z_1=a+b\:\!\mathrm{i}\) i \(z_2=c+d\:\!\mathrm{i}\) wykonujemy, stosując przekształcenia algebraiczne i pamiętając, że \(\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}=-1}\):

• suma i różnica \[(a+b\:\!\mathrm{i})\pm (c+d\:\!\mathrm{i})=(a\pm c)+(b\pm d)\:\!\mathrm{i}\]
• iloczyn \[\eqalign{(a+b\:\!\mathrm{i}) \cdot (c+d\:\!\mathrm{i})&= ac+ad\:\!{\mathrm{i}}+bc\:\!\mathrm{i}+bd \:\!\czerwony{\boldsymbol{\mathrm{i}^2}}\ =(ac\ \czerwony{\boldsymbol{-}}\ bd)+(ad+bc)\:\!\mathrm{i}\cr}\]
• iloraz, o ile \(c+d\:\!\mathrm{i}\neq 0\) \[\eqalign{\frac{a+b\:\!\mathrm{i}}{c+d\:\!\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\:\!\mathrm{i})\cdot\zielony{\boldsymbol{(c-d\:\!\mathrm{i})}}}{(c+d\:\!\mathrm{i})\cdot\zielony{\boldsymbol{(c-d\:\!\mathrm{i})}}}={\frac{ac+bd}{c^2+d^2}} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\:\!\mathrm{i}\cr}\]

Postacią trygonometryczną liczby zespolonej \(z=a+b\!\:\mathrm{i}\neq 0\) nazywamy postać \[z=\vert z\vert \left(\cos\varphi + \mathrm{i} \sin\varphi \right),\] w której nieujemna liczba rzeczywista \(\vert z\vert\) jest modułem, a kąt \(\varphi=\mathrm{Arg}\, z\) jest argumentem liczby \(z\).
Postać trygonometryczna liczby \(z=0\) to \[0=0(\cos 0+\mathrm{i}\sin 0),\] gdzie \(\varphi\) jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Modułem liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą \(\vert z\vert\) określoną wzorem \[\vert z \vert=\sqrt{a^2+b^2}\] Interpretacja geometryczna modułu \(\boldsymbol{|z|}\) liczby zespolonej to jej odległość od początku układu współrzędnych, jak na poniższym rysunku. Własności modułu liczb zespoonych \(z\), \(z_1\), \(z_2\) dla \(n\in\mathbb{N}\):

Argumentem niezerowej liczby zespolonej \(z=a+b\:\!\mathrm{i}\) nazywamy każdą liczbę rzeczywistą \(\varphi\) spełniającą warunek \[\cases{\cos\varphi = \frac{a}{\vert z\vert} \cr \sin\varphi = \frac{b}{\vert z\vert} \cr}\] Jeżeli \(\varphi\in\left<0,2\pi\right)\), to kąt \(\varphi\) nazywamy argumentem głównym liczby \(z\). Dodatkowo przyjmujemy, że argumentem liczby \(z=0\) jest dowolny kąt \(\varphi\in\mathbb{R}\), a jej argumentem głównym jest \(\varphi = 0\).
Interpretacja geometryczna argumentu \(\boldsymbol{\mathrm{Arg}\, z}\) i argumentu głównego \(\boldsymbol{\arg z}\) liczby zespolonej to kąt między dodatnią półosią rzeczywistą, a promieniem wodzącym tej liczby, jak na poniższym rysunku. Własności argumentu liczb zespoonych \(z\), \(z_1\), \(z_2\) dla \(n\in\mathbb{N}\):

1. \(\arg \bar{z}=2\pi-\arg z\)
2. \(\arg (-z)=\left\{\begin{array}{lll}\arg z+\pi & \text{dla} &\arg z \leq \pi &\\ \arg z-\pi & \text{dla} &\arg z > \pi &\end{array}\right.\)
3. \(\mathrm{Arg}\,(z_1\cdot z_2)= \arg z_1+ \arg z_2 \)
4. \(\displaystyle\mathrm{Arg}\left(\frac{ z_1}{z_2}\right)= \arg z_1-\arg z_2\ \), o ile \(\ z_2\neq 0\)
5. \(\mathrm{Arg}\, z^n = n\cdot\arg z\)

Równość liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej \(z_{1}=\vert z_{1}\vert ( \cos \varphi_{1}+\mathrm{i}\sin \varphi _{1})\) i \(z_{2}=\vert z_{2}\vert ( \cos \varphi _{2}+\mathrm{i}\sin \varphi _{2})\) \[z_{1}=z_{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \vert z_{1}\vert =\vert z_{2}\vert \ \wedge \ \varphi _{1}=\varphi _{2}+2k\pi, \quad {\rm gdzie}\quad k\in Z\]

Działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej \(z=\vert z\vert ( \cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )\), \(z_{1}=\vert z_{1}\vert ( \cos \varphi_{1}+\mathrm{i}\sin \varphi _{1})\) i \(z_{2}=\vert z_{2}\vert ( \cos \varphi _{2}+\mathrm{i}\sin \varphi _{2})\):

• iloczyn \[ z_{1}\cdot z_{2}=\vert z_{1}\vert\cdot \vert z_{2}\vert\big[ \cos ( \varphi _{1}+\varphi _{2}) +\mathrm{i}\sin ( \varphi_{1}+\varphi _{2}) \big]\]
• iloraz, o ile \(z_2\neq 0\) \[\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\vert z_{1}\vert }{\vert z_{2}\vert }\big[ \cos ( \varphi _{1}-\varphi _{2}) +\mathrm{i}\sin( \varphi _{1}-\varphi _{2}) \big]\]
• potęga (wzór de Moivre'a) \[\Big[ \vert z\vert ( \cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )\Big] ^{\zielony{\boldsymbol n}}=\vert z\vert ^{\zielony{\boldsymbol n}}( \cos \zielony{\boldsymbol n}\varphi +\mathrm{i}\sin \zielony{\boldsymbol n}\varphi )\]

Pierwiastkiem stopnia \(\boldsymbol n\) (\(n\ge 2\)) z liczby zespolonej \(z\) nazywamy każdą liczbę zespoloną \(w\) taką, że \[w^{n}=z\] W zbiorze liczb zespolonych symbol \(\sqrt[n]{z}\) oznacza zbiór wszystkich pierwiastków stopnia \(n\) z liczby zespolonej \(z\) \[\sqrt[n]{z}=\left\{w\in\mathbb{C}:\ w^{n}=z\right\}\]

• Jeżeli \(z=0\), to \(\sqrt[n]{z}=\{0\}\).
• Jeżeli \(z=\czerwony{\boldsymbol{\vert z\vert}} ( \cos \zielony{\boldsymbol \varphi} +\mathrm{i}\sin \zielony{\boldsymbol \varphi} )\neq 0\), to istniej dokładnie \(n\) pierwiastków stopnia \(n\) z liczby \(z\) i są one postaci \[ w_k=\sqrt[n]{\czerwony{\boldsymbol{\vert z\vert}} }\left( \cos \frac{\zielony{\boldsymbol \varphi}+2k\pi }{n} +{\mathrm{i}}\sin \frac{\zielony{\boldsymbol \varphi} +2k\pi }{n}\right),\] gdzie \(k=0,1,\ldots ,n-1\).
• Jeżeli \(\czerwony{\boldsymbol{w_0}}\) jest jednym z pierwiastków \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(z\neq 0\), to pozostałe pierwiastki można obliczyć ze wzoru \[w_k=\czerwony{\boldsymbol{w_0}}\left(\cos{2k\pi\over n}+{\mathrm{i}}\sin{2k\pi\over n}\right),\] gdzie \(k=1,2,\ldots ,n-1\).
• Jeżeli \(z\neq 0\) oraz \(n=2\), to pierwiastki stopnia \(2\) z liczby \(z\) są liczbami przeciwnymi.
• Jeżeli \(z\neq 0\) oraz \(n\ge 3\), to zbiór pierwiastków \(n\)-tego stopnia z liczby \(z\) jest zbiorem wierzchołków \(n\)-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku \(z_0=0\) i promieniu \(r=\sqrt[n]{\vert z\vert }\).
• Jeżeli \(n\)-kąt foremny wpisany w okrąg o środku \(z_0=0\) ma parzystą \(n=2k\) liczbę wierzchołków, to \(z_0\) jest jego środkiem symetrii oraz \[w_{\czerwony{\boldsymbol{k}}}=\czerwony{\boldsymbol{-}}\ w_{\czerwony{\boldsymbol{0}}}, \quad w_{k+\czerwony{\boldsymbol{1}}}=\czerwony{\boldsymbol{-}}\ w_{\czerwony{\boldsymbol{1}}}, \quad w_{k+\czerwony{\boldsymbol{2}}}=\czerwony{\boldsymbol{-}}\ w_{\czerwony{\boldsymbol{2}}},\quad\ldots ,\quad w_{\czerwony{\boldsymbol{n-1}}}=\czerwony{\boldsymbol{-}}\ w_{\czerwony{\boldsymbol{k-1}}}\] W szczególności, gdy \(n=4\) oraz \(w_0=a+b\:\!\mathrm{i}\), to pozostałymi wierzchołkami kwadratu są \[w_1= -b+a\:\!\mathrm{i},\quad w_2=-a-b\:\!\mathrm{i},\quad w_3= b-a\:\!\mathrm{i}\]

Postacią wykładniczą liczby zespolonej \(z=a+b\!\:\mathrm{i}\) nazywamy postać \[z=\vert z\vert e^{\mathrm{i}\varphi},\] w której nieujemna liczba rzeczywista \(\vert z\vert\) jest modułem, kąt \(\varphi=\mathrm{Arg}\, z\) jest argumentem liczby \(z\), a symbol \(\boldsymbol{e^{\mathrm{i}\varphi}}\), gdzie \(e\) jest liczbą Eulera, oznacza liczbą zespoloną \[e^{\mathrm{i}\varphi}=\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi\] Własności symbolu \(\boldsymbol{e^{\mathrm{i}\varphi}}\) dla \(\varphi ,\varphi_1, \varphi_2\in\mathbb{R}\) oraz \(k\in\mathbb{Z}\):

Równość liczb zespolonych zapisanych w postaci wykładniczej \(z_{1}=\vert z_{1}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_1}\) i \(z_{2}=\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_2}\) \[z_{1}=z_{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \vert z_{1}\vert =\vert z_{2}\vert \ \wedge \ \varphi _{1}=\varphi _{2}+2k \pi, \quad {\rm gdzie}\quad k\in Z\]

Działania na liczbach zespolonych zapisanych w postaci wykładniczej \(z=\vert z\vert e^{\mathrm{i}\varphi}\), \(z_{1}=\vert z_{1}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_1}\) i \(z_{2}=\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\varphi_2}\):

• iloczyn \[ z_{1}\cdot z_{2}=\vert z_{1}\vert \cdot\vert z_{2}\vert e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}\]
• iloraz, o ile \(z_2\neq 0\) \[ \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\vert z_{1}\vert }{\vert z_{2}\vert }e^{\mathrm{i}\left(\varphi_1-\varphi_2\right)}\]
• potęga \[\displaystyle z^k=\vert z \vert ^k e^{\mathrm{i}k\varphi}\]
• sprzężenie \[ \bar{z}=\vert z \vert e^{-\mathrm{i}\varphi}\]

Dla dowolnego \(x\in\mathbb{R}\) zachodzą wzory Eulera: \[\cos x=\frac{e^{\mathrm{i}x}+e^{-\mathrm{i}x}}{2},\qquad \sin x=\frac{e^{\mathrm{i}x}-e^{-\mathrm{i}x}}{2\:\!\mathrm{i}}\]

Równania i nierówności zespolone:

1. Jeżeli w równaniu zespolonym występuje moduł \(|z|\), sprzężenie \(\bar z\), część rzeczywista \(\mathrm{Re}\, z\) lub część urojona \(\mathrm{Re}\, z\) liczby zespolonej \(z\), to wyznaczamy dziedzinę tego równania i wstawiamy w miejsce niewiadomej \(z\) jej postać algebraiczną \(z=x+y\:\!\mathrm{i}\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\). Następnie porządkujemy równanie i zapisujemy obie jego strony w postaci algebraicznej. Wykorzystujemy warunek równości dwóch liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej i otrzymujemy wówczas układ równań z niewiadomymi \(x,y\in\mathbb{R}\). Po rozwiązaniu tego układu równań zapisujemy w postaci algebraicznej rozwiązania zadanego równania zespolonego i sprawdzamy, czy należą do jego dziedziny.
2. Rozwiązaniami równania zespolonego postaci \[z^n=w,\] gdzie \(w\in\mathbb{C}\) są wszystkie pierwiastki \(n\)-tego stopnia z liczby zespolonej \(w\).
3. Rozwiązaniami równania zespolonego postaci \[\vert z-z_0\vert \ \czerwony{\boldsymbol =}\ r,\quad\hbox{gdzie}\quad r\gt 0,\] są wszystkie liczby zespolone \(z\) leżące na okręgu o środku \(z_0\) i promieniu \(r\).
   Zatem nierówność zespolona postaci:
   • \(\left|z-z_0\right| \ \czerwony{\boldsymbol \lt}\ r\) opisuje wnętrze tego okręgu,
   • \(\left|z-z_0\right| \ \czerwony{\boldsymbol \gt}\ r\) opisuje zewnętrze tego okręgu.
   

   \(\left|z-z_0\right| \ \czerwony{\boldsymbol =}\ r\)

   

   \(\left|z-z_0\right| \ \czerwony{\boldsymbol \lt}\ r\)

   

   \(\left|z-z_0\right| \ \czerwony{\boldsymbol \gt}\ r\)
4. Rozwiązaniami równania postaci \[\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol =}\ \vert z-z_2\vert ,\quad\hbox{gdzie}\quad z_1\neq z_2,\] są wszystkie liczby zespolone \(z\) leżące na symetralnej odcinka o końcach \(z_1\) i \(z_2\).
   Zatem nierówność zespolona postaci:
   • \(\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol\lt}\ \vert z-z_2\vert\) opisuje półpłaszczyznę otwartą ograniczoną tą symetralną odcinka oraz zawierającą \(\czerwony{\boldsymbol {z_1}}\),
   • \(\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol\gt}\ \vert z-z_2\vert\) opisuje półpłaszczyznę otwartą ograniczoną tą symetralną odcinka oraz zawierającą \(\czerwony{\boldsymbol {z_2}}\).
   

   \(\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol =}\ \vert z-z_2\vert \)

   

   \(\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol \lt}\ \vert z-z_2\vert \)

   

   \(\vert z-z_1\vert \ \czerwony{\boldsymbol \gt}\ \vert z-z_2\vert \)
5. Rozwiązaniami równania postaci \[\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol =}\ \varphi,\quad\hbox{gdzie}\quad\varphi\in\left\lt 0,2\pi\right),\] są wszystkie liczby zespolone \(z\), leżące na półprostej o początku \(z_0\) nachylonej pod kątem \(\varphi\) do dodatniej półosi rzeczywistej. Jeżeli \(\varphi = 0\), to jest to półprosta domknięta, a jeżeli \(\varphi \neq 0\), to jest to półprosta otwarta.
   Zatem nierówność zespolona postaci:
   • \(\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol\lt}\ \varphi\) opisuje kąt skierowany, którego ramieniem początkowym jest dodatnia półoś rzeczywista, a ramieniem końcowym jest ta półprosta wraz z dodatnią półosią rzeczywistą i liczbą \(z_0\),
   • \(\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol\gt}\ \varphi\) opisuje kąt skierowany, którego ramieniem początkowym jest ta półprosta, a ramieniem końcowym jest dodatnia półoś rzeczywista.
   

   \(\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol =}\ \varphi \)

   

   \(\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol\lt}\ \varphi\)

   

   \(\arg (z-z_0)\ \czerwony{\boldsymbol\gt}\ \varphi\)