Prawo kontrapozcji

Poniżej znajdują się przykłady zastosowania prawa kontrapozycji \[({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow ({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}} \Rightarrow {\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\niebieski{\boldsymbol p}})\]
Przykład
Wykorzystamy prawo kontrapozycji, aby sformułować w sposób równoważny znane z gimnazjum twierdzenie o kącie środkowym \(\alpha\) i kącie \(\beta\) wpisanym w okrąg. Jeżeli \(\alpha\) i \(\beta\) są oparte na tym samym łuku, to \(\alpha=2\beta\). Twierdzenie to ma postać implikacji \({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}\), której poprzednikiem jest zdanie \({\niebieski{\boldsymbol p}}:\quad\)\(\alpha\) i \(\beta\) są oparte na tym samym łuku a następnikiem jest zdanie \({\zielony{\boldsymbol q}}:\quad\)\(\alpha=2\beta\) Aby zastosować prawo kontrapozycji \(({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow ({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}} \Rightarrow {\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\niebieski{\boldsymbol p}})\), musimy utworzyć zaprzeczenia zdań: \({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\niebieski{\boldsymbol p}}:\quad\)\(\alpha\) i \(\beta\) nie są oparte na tym samym łuku oraz \({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}}:\quad\)\(\alpha\: {\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 2\beta\) Zgodnie z prawem kontrapozycji twierdzenie o kącie środkowym \(\alpha\) i kącie \(\beta\) wpisanym w okrąg jest równoważne z twierdzeniem Jeżeli \(\alpha\: {\czerwony{\boldsymbol\neq}}\: 2\beta\), to \(\alpha\) i \(\beta\) nie są oparte na tym samym łuku.
Zadanie
Korzystając z prawa kontrapozycji, utwórz zdanie równoważne z podanym zdaniem:
  1. Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski, to Warszawa leży nad Wisłą.
    Zgodnie z prawem kontrapozycji zdanie \(p\Rightarrow q\) jest równoważne ze zdaniem \(\sim q\Rightarrow\:\sim p \). Zatem zdanie Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski, to Warszawa leży nad Wisłą jest równoważne ze zdaniem Jeżeli Warszawa nie leży nad Wisłą, to Warszawa nie jest stolicą Polski
  2. \(x=3 \Longrightarrow y=5\)
    Zgodnie z prawem kontrapozycji zdanie \(p\Rightarrow q\) jest równoważne ze zdaniem \(\sim q\Rightarrow\:\sim p \). Zatem zdanie \(x=3\Rightarrow y=5\) jest równoważne ze zdaniem \[ y\neq 5 \Longrightarrow x\neq 3 \]
  3. Jeżeli prosta \(l\) przecina prostą \(k\), to \(l\) przecina prostą \(r\).
    Z prawa kontrapozycji wynika, że podane zdanie jest równoważne ze zdaniem
    Jeżeli prosta \(l\) nie przecina prostej \(r\), to \(l\) nie przecina prostej \(k\).
  4. Jeżeli punkt \(A\) jest środkiem okręgu \(K\), to \(A\) leży na prostej \(l\).
    Z prawa kontrapozycji wynika, że podane zdanie jest równoważne ze zdaniem
    Jeżeli punkt \(A\) nie leży na prostej \(l\), to \(A\) nie jest środkiem okręgu \(K\).