Zaprzeczenie implikacji

Poniżej znajdują się przykłady zastosowania prawa zaprzeczenia implikacji \[{\czerwony{\boldsymbol\sim}} ({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow (\:{\niebieski{\boldsymbol p}}\:{ \wedge}\: {\czerwony{\boldsymbol\sim}}\:{\zielony{\boldsymbol q}})\]

Przykład
Wykorzystamy prawo zaprzeczenia implikacji, aby utworzyć zaprzeczenie zdania Jeżeli punkt \(A\) jest wierzchołkiem prostokąta \(P\), to \(A\) leży na prostej \(l\). Zdanie to ma postać implikacji \({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}\), której poprzednikiem jest zdanie \({\niebieski{\boldsymbol p}}:\quad\)punkt \(A\) jest wierzchołkiem prostokąta \(P\) a następnikiem jest zdanie \({\zielony{\boldsymbol q}}:\quad\)\(A\) leży na prostej \(l\) Aby zastosować prawo zaprzeczenia implikacji \({\czerwony{\boldsymbol\sim}} ({\niebieski{\boldsymbol p}}\Rightarrow {\zielony{\boldsymbol q}}) \Longleftrightarrow (\:{\niebieski{\boldsymbol p}}\:{ \wedge}\: {\czerwony{\boldsymbol\sim}}\:{\zielony{\boldsymbol q}})\), musimy utworzyć zaprzeczenie następnika implikacji \({\czerwony{\boldsymbol\sim}}\: {\zielony{\boldsymbol q}}:\quad\)\(A\) nie leży na prostej \(l\) Zgodnie z prawem zaprzeczenia implikacji zaprzeczeniem rozważanego zdania jest zdanie Punkt \(A\) jest wierzchołkiem prostokąta \(P\) i \(A\) nie leży na prostej \(l\).
Zadanie
Podaj zaprzeczenie implikacji:
  1. Jeżeli woda zamarza, to temperatura otoczenia jest mniejsza niż lub równa 0°C.
    Zgodnie z prawem zaprzeczenia implikacji zaprzeczeniem zdania \(p\Rightarrow q \) jest zdanie \(p \ \:{ \wedge} \sim q\). Zatem zaprzeczeniem danego zdania jest Woda zamarza i temperatura otoczenia jest większa niż 0°C.
  2. \(x=5 \Longrightarrow y=1\)
    Zgodnie z prawem zaprzeczenia implikacji zaprzeczeniem zdania \(p\Rightarrow q \) jest zdanie \(p \ \:{ \wedge} \sim q\). Zatem zaprzeczeniem danego zdania jest \[ x=5\quad \wedge\quad y\neq 1 \]
  3. Jeżeli prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\), to \(l\) jest równoległa do prostej \(r\).
    Z prawa zaprzeczenia implikacji wynika, że zaprzeczeniem danego zdania jest Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i nie jest równoległa do prostej \(r\).