Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości funkcji
Niech \(f:X\longrightarrow Y\). Zbiór \(X\) nazywamy dziedziną funkcji \(f\) i oznaczamy symbolem \(D_f\). Zbiór \(Y\) nazywamy przeciwdziedziną funkcji \(f\). Zbiór \[ W_f=\left\{y\in Y: \ \bigvee_{x\in D_f}\ y=f(x)\right\}
\] nazywamy zbiorem wartości funkcji \(f\).
Jeżeli funkcja \(f\) dana jest za pomocą wzoru \(y=f(x)\) i nie jest podana jej dziedzina, to zakładamy, że dziedziną jest możliwie największy zbiór argumentów \(x\), dla których wyrażenie \(f(x)\) ma sens. Tak określony zbiór nazywamy dziedziną naturalną funkcji \(f\). Na przykład dziedziną naturalną funkcji \(f\) określonej wzorem \(f(x)={1\over x}\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}\).
Przykład
Funkcja \(f\) dana jest za pomocą grafu
Zadanie
Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji \(f\) określonej za pomocą wzoru:
-
\(\displaystyle f(x)={\sqrt{x+3}\over x+1}\)Ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemne, a w mianowniku musi być liczba różna od zera, stąd \[\matrix{ D_f:\quad\left\{\matrix{ x+3\geq 0 \cr x+1\neq 0 \cr }\right.& \Longleftrightarrow & \left\{\matrix{x\geq -3 \cr x\neq -1 \cr }\right.\cr} \] Zatem dziedziną naturalną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\langle-3,-1)\cup(-1, \infty)\).
-
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{\vert x+2\vert -4}\)Ponieważ wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemne, stąd \[ D_f: \quad\vert x+2\vert -4\geq 0, \] czyli \[ \vert x+2\vert \geq 4 \] Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[ x+2\leq -4 \quad \vee \quad x+2\geq 4 \] \[ x\leq -6 \quad \vee \quad x\geq 2 \] Zatem dziedziną naturalną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=(-\infty, -6\rangle\cup \langle 2,\infty)\).
-
\(\displaystyle f(x)={x\over x^2+1}\)Ponieważ mianownik \(x^2+1\) jest zawsze dodatni, to dziedziną naturalną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\).
Zadanie
Odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(f\):
-
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left<-4,1\right)\cup\left(0,3\right>\cup\{4\}\). Jej zbiór wartości to \(W_f=\left<-2,0\right>\cup\left<1,2\right)\cup\{3\}\). -
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,5\right>\). Jej zbiór wartości to \(W_f=\left<-3,-1\right>\cup\left(3,5\right)\). -
\( \)
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left(-\infty,4\right)\). Jej zbiór wartości to \(W_f=\left(-\infty,-1\right>\cup\left(1,\infty\right)\).