\(\boldsymbol {y=f(x-p)+q}\)

Fakt
Wykres funkcji \(y=f(x-p)+q\) otrzymujemy po przesunięciu równoległym (translacji) wykresu funkcji \(y=f(x)\) o wektor \(\vec{v}=[p,q]\).
Rysunek przedstawiający przesunięcie wykresu funkcji f o wektor v.
Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=f(x-p)+q\)
Przykład
Wiadomo, że wykres funkcji \(g\) jest obrazem wykresu funkcji \(f\) w przesunięciu równoległym o pewien wektor \(\vec{v}.\) Znając zależność między wzorami obu funkcji, możemy odczytać współrzędne wektora przesunięcia \(\vec{v}.\) Zatem jeżeli \(g(x) = f(x-1)+3,\) to wykres funkcji \(g\) powstaje z wykresu funkcji \(f\) w wyniku przesunięcia o wektor \(\vec{v} = [1,3]\).
Zadanie
Napisz wzór funkcji \(g\), której wykres jest obrazem wykresu funkcji \(f\) otrzymanym w wyniku przesunięcia o wektor \(\vec{v}\), jeżeli:
  1. \(f(x)=3x^2+2x+4\), \(\quad \vec{v} = [2,1]\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(f\) o wektor \(\vec{v} = [2,1]\), zatem \[\eqalign{g(x) &= f(x-2)+1 = \left[3(x-2)^2+2(x-2)+4\right] +1 =\cr &= 3(x^2-4x+4)+2x +1 = 3x^2-10x+13\cr} \]
  2. \(f(x)=\sqrt{2x+1}\), \(\quad \vec{v} = [-3,2]\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(f\) o wektor \(\vec{v} = [-3,2]\), zatem \[g(x) = f(x+3)+2 = \sqrt{2(x+3)+1}+2 = \sqrt{2x+7}+2\]
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+3}\), \(\quad \vec{v} = [1,-3]\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(f\) o wektor \(\vec{v} = [1,-3]\), zatem \[\eqalign{g(x) &= f(x-1)-3 = \frac{(x-1) -1}{(x-1)+3}-3 =\frac{x-2}{x+2}-3 =\cr &=\frac{x-2}{x+2} - \frac{3(x+2)}{x+2}= \frac{x-2-3x-6}{x+2}= \frac{-2x-8}{x+2}\cr}\]
Zadanie
Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział \(D_f = \left(-4,1\right)\), a jej zbiorem wartości jest przedział \(W_f = \left <-2,5\right)\). Wykres funkcji \(g\) powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji \(f\) o wektor \(\vec{v}\). Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(g\), jeżeli:
  1. \(\vec{v} = [2,0]\)
    Aby otrzymać wykres funkcji \(g\), należy przesunąć wykres funkcji \(f\) o dwie jednostki w prawo. Wówczas dziedzina zostanie przesunięta o \(2\) w prawo, a zbiór wartości nie ulegnie zmianie.
    Zatem dziedziną funkcji \(g\) będzie przedział \[D_g = \left(-4+2,1+2\right)= \left(-2,3\right),\] a jej zbiorem wartości będzie przedział \[W_g = \left<-2,5\right)\]
  2. \(\vec{v} = [0,-1]\)
    Aby otrzymać wykres funkcji \(g\), należy przesunąć wykres funkcji \(f\) o jedną jednostkę w dół. Wówczas dziedzina nie ulegnie zmianie, a zbiór wartości zostanie przesunięty o \(1\) w dół.
    Zatem dziedziną funkcji \(g\) będzie przedział \[D_g = \left(-4,1\right),\] a jej zbiorem wartości będzie przedział \[W_g = \left<-2-1,5-1\right)=\left<-3,4\right)\]
  3. \(\vec{v} = [-1,4]\)
    Aby otrzymać wykres funkcji \(g\), należy przesunąć wykres funkcji \(f\) o jedną jednostkę w lewo i o cztery jednostki w górę. Wówczas dziedzina ulegnie przesunięciu o \(1\) w lewo, a zbiór wartości ulegnie przesunięciu o \(4\) w górę.
    Zatem dziedziną funkcji \(g\) będzie przedział \[D_g = \left(-5,0\right),\] a jej zbiorem wartości będzie przedział \[W_g = \left<2,9\right)\]