\(\boldsymbol {y=-f(-x)}\)

Fakt
Wykres funkcji \(y = -f(-x)\) powstaje z wykresu funkcji \(y=f(x)\) przez symetrię środkową względem punktu \((0,0)\).
Wykres funkcji f.
Wykres symetryczny do wykresy funkcji f względem początku układu współrzędnych.
Wykresy funkcji \(y=f(x)\) i \(y=-f(-x)\)
Uwaga
Wykres funkcji \(y = -f(-x)\) można również otrzymać przekształcając wykres funkcji \(f\) kolejno przez symetrię osiową względem osi \(Ox\) i względem osi \(Oy\) lub odwrotnie.
Przykład
Funkcja \(f\) dana jest za pomocą tabelki
\(x\) \(-8\) \(-2\) \(0\) \(1\) \(7\) \(10\)
\(f(x)\) \(12\) \(-13\) \(1\) \(3\) \(0\) \(-5\)
Obrazem funkcji \(f\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest funkcja \(g(x)=-f(-x)\) opisana za pomocą tabelki
\(x\) \(-10\) \(-7\) \(-1\) \(0\) \(2\) \(8\)
\(g(x)\) \(5\) \(0\) \(-3\) \(-1\) \(13\) \(-12\)
Zadanie
Napisz wzór funkcji \(g\), której wykres jest obrazem wykresu funkcji \(f\) otrzymanym przez symetrię względem względem punktu \((0,0)\), jeżeli:
  1. \(f(x)=(x+2)^2+3\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji \(f\) przez symetrię względem punktu \((0,0)\), więc funkcję \(g\) opisuje wzór \[g(x) = -f(-x) = - \left[(-x+2)^2+3\right]= -(2-x)^2-3 \]
  2. \(f(x)=2-\sqrt{x}\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji \(f\) przez symetrię względem punktu \((0,0)\), więc funkcję \(g\) opisuje wzór \[g(x) = -f(-x) = -( 2-\sqrt{-x})=\sqrt{-x} -2\]
  3. \(\displaystyle f(x)=\frac{-2}{x-1}\)
    Wykres funkcji \(g\) powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji \(f\) przez symetrię względem punktu \((0,0)\), więc funkcję \(g\) opisuje wzór \[g(x) = -f(-x) = - \frac{-2}{-x-1}=-\frac{2}{x+1} \]
Zadanie
Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left(4,11\right\gt\), a jej zbiorem wartości jest zbiór \(W_f=\left\lt -3,7\right)\). Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=-f(-x)\).
Skoro dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\left(4,11\right\gt\), to dziedziną funkcji \(g\), której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji \(f\) względem punktu \((0,0)\), jest zbiór \[D_g=\left\lt -11,-4\right)\] Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(f\) jest zbiór \(W_f=\left\lt -3,7\right)\), to zbiorem wartości funkcji \(g(x)=-f(-x)\) jest zbiór \[W_g=\left(-7,3\right\gt \]