Złożenie funkcji

Definicja
Niech \(f:X\longrightarrow Y\) oraz \(g:Z\longrightarrow W\), gdzie \(Y\subseteq Z\). Złożeniem funkcji \(f\) z funkcją \(g\) nazywamy funkcję \(g\circ f: X\longrightarrow W\) określoną wzorem \[(g\circ f)(x)=g(f(x))\]
Rysunek przedstawiający złożenie funkcji.
Złożenie funkcji
Funkcję \(f\) nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję \(g\) – funkcją zewnętrzną złożenia \(g\circ f\).
Dziedziną funkcji \(g\circ f\) jest dziedzina funkcji wewnętrznej, dlatego \[D_{g\circ f}=D_f,\] a przeciwdziedziną tego złożenia jest przeciwdziedzina funkcji zewnętrznej.
Zbiorem wartości funkcji \(g\circ f\) jest zbiór wartości obcięcia funkcji \(g\) do zbioru wartości funkcji \(f\), dlatego \[W_{g\circ f}=W_{g\vert_{W_f}}\] Nie zawsze jednak spełniony jest warunek \(Y\subset Z\). Jeżeli tylko zbiór \({D=\{x\in X: f(x)\in Z\}}\) jest niepusty, to funkcję \(h:D\longrightarrow W\) określoną wzorem \(h(x)=g(f(x))\) także będziemy nazywać złożeniem funkcji \(g\) i \(f\).
Uwaga
Składanie funkcji nie jest przemienne.
Z definicji funkcji złożonej, funkcji rosnącej i malejącej, funkcji parzystej i nieparzystej oraz funkcji różnowartościowej wynikają następujące własności:
Fakt
Monotoniczność funkcji złożonej:
  1. złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą,
  2. złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą,
  3. złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.
Fakt
Parzystość i nieparzystość funkcji złożonej:
  1. złożenie dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą,
  2. złożenie dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą,
  3. złożenie funkcji parzystej i funkcji nieparzystej jest funkcją parzystą.
Fakt
Złożenie funkcji różnowartościowych jest funkcją różnowartościową.
Zadanie
Złóż, o ile jest to możliwe, podane funkcje:
  1. \(f(x)=x^2+3x\), \(g(x)=2x-4\)
    Zauważmy, że \(f,g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\), więc możliwe są złożenia \(f\circ g\) i \(g\circ f\), przy czym \(D_{f\circ g}=D_{g\circ f}=\mathbb{R}\) oraz dla każdego \(x\in\mathbb{R}\) \[ \eqalign{ (f\circ g)(x)&=f(g(x))=f(2x-4)=\left(2x-4\right)^2+3\left(2x-4\right)=4x^2-10x+4\cr (g\circ f)(x)&=g(f(x))=g(x^2+3x)=2\left(x^2+3x\right) -4=2x^2+6x-4 \cr } \]
  2. \(f(x)=\sqrt{x}\), \(g(x)=x+3\)
    Zauważmy, że \(D_f=W_f=\langle 0,\infty)\) oraz \(D_g=W_g=\mathbb{R}\). Zatem możliwe jest złożenie funkcji \(g\circ f\), gdyż \(W_f \subset D_g\). Dziedziną tego złożenia jest zbiór \(D_{g\circ f}=D_f=\langle 0,\infty)\) oraz \[ \bigwedge_{x\in \langle 0,\infty)}\quad (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x})=\sqrt{x}+3 \] Ponieważ \(W_g\not\subset D_f\), trzeba sprawdzić, czy zbiór \(D=\{x\in D_g : g(x)\in D_f\}\) jest niepusty. Widać, że \(D=\{x\in \mathbb{R}:x+3\geq 0\}= \langle -3,\infty)\neq\emptyset\). Zatem istnieje złożenie \(f\circ g\), gdzie \(D_{f\circ g}=D\), oraz \[ \bigwedge_{x\in \langle -3,\infty)}\quad(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=\sqrt{x+3} \]
  3. \(f(x)=\sqrt{x}\), \(g(x)=-x^2-1\)
    Zauważmy, że \(D_f=W_f=\langle 0,\infty)\) oraz \(D_g=\mathbb{R}\) i \(W_g=(-\infty,-1\rangle\). Zatem możliwe jest złożenie \(g\circ f\), gdyż \(W_f \subset D_g\). Dziedziną tego złożenia jest zbiór \(D_{g\circ f}=D_f=\langle 0,\infty)\) oraz \[ \bigwedge_{x\in \langle 0,\infty)}\quad(g\circ f)(x)=g(f(x))=-\left(\sqrt{x}\right)^2-1=-x-1 \] Ponieważ \(W_g\not\subset D_f\) i \(W_g\cap D_f=\emptyset\), zatem nie istnieje złożenie \(f\circ g\).
  4. \(f(x)=1+\sqrt{x-1}\), \(g(x)=-\sqrt{-x}\)
    Zauważmy, że \(D_f=W_f=\langle 1,\infty)\) oraz \(D_g=W_g=(-\infty,0\rangle\). Ponieważ \(W_g\not\subset D_f\) i \(W_g\cap D_f=\emptyset\), zatem nie istnieje złożenie \(f\circ g\). Analogicznie: ponieważ \(W_f\not\subset D_g\) i \(W_f\cap D_g=\emptyset\), zatem nie istnieje złożenie \(g\circ f\).
Zadanie
Ustal funkcję wewnętrzną i zewnętrzną podanych złożeń:
  1. \(y=\sqrt{x^3+2x}\)
    Funkcją zewnętrzną tego złożenia jest funkcja \(f(x)=\sqrt{x}\), a funkcją wewnętrzną jest funkcja \(g(x)=x^3+2x\).
  2. \(y=(x^4+3x^3)^{10}\)
    Funkcją zewnętrzną tego złożenia jest funkcja \(f(x)=x^{10}\), a funkcją wewnętrzną jest funkcja \(g(x)=x^4+3x^3\).
  3. \(y=\root 3 \of {-x}\)
    Funkcją zewnętrzną tego złożenia jest funkcja \(f(x)=\root 3 \of x\), a funkcją wewnętrzną jest funkcjat \(g(x)=-x\).
  4. \(y={1\over 3x^2+2}\)
    Funkcją zewnętrzną tego złożenia jest funkcjat \(f(x)={1\over x}\), a funkcją wewnętrzną jest funkcja \(g(x)=3x^2+2\).
  5. \(y={1\over x^2}+{1\over x}-3\)
    Funkcją zewnętrzną tego złożenia jest funkcjat \(f(x)=x^2+x-3\), a funkcją wewnętrzną jest funkcja \(g(x)={1\over x}\).