Własność potęgowania i pierwiastkowania
\[\sqrt{a^2}=\vert a \vert\]
Funkcje elementarne i nieelementarne
Definicja
Podstawowymi funkcjami elementarnymi są funkcje: stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu) oraz operacji złożenia funkcji.
Funkcjami elementarnymi są na przykład funkcje liniowe, funkcje kwadratowe, wielomiany, funkcje wymierne. Funkcje te wraz z podstawowymi funkcjami elementarnymi omówimy dokładnie w następnych rozdziałach.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \(y=\vert x\vert\) również jest funkcją elementarną, ponieważ \(\vert x \vert =\sqrt{x^2}\) dla każdego \(x\in \mathbb{R}\), co wynika z własności potęg i pierwiastków parzystego stopnia.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej \(y=\vert x\vert\) również jest funkcją elementarną, ponieważ \(\vert x \vert =\sqrt{x^2}\) dla każdego \(x\in \mathbb{R}\), co wynika z własności potęg i pierwiastków parzystego stopnia.
Wartość bezwzględna
Funkcja \(y=\vert x\vert\) jest przedziałami monotoniczna: malejąca w przedziale \(\left(-\infty, 0\right>\) i rosnąca w przedziale \(\left< 0, \infty\right)\). Jest też funkcją ograniczoną z dołu i posiada tylko jedno miejsce zerowe \(x=0\).
Funkcjami nieelementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które nie spełniają definicji funkcji elementarnej. Takimi funkcjami są przykładowo funkcje: cecha, mantysa, signum liczby rzeczywistej oraz funkcja Dirichleta. Poniżej znajdują się ich definicje,
wykresy i podstawowe własności.
Cechą nazywamy wartość funkcji, która liczbie rzeczywistej \(x\) przyporządkowuje największą liczbę całkowitą nie większą od \(x\), i oznaczamy ją \([x]\). \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad [x]=k \Longleftrightarrow k\in \mathbb{Z} \quad
\wedge \quad k\leq x< k+1 \] Funkcja \(y=[x]\) nazywana jest również częścią całkowitą liczby rzeczywistej lub entier i oznaczana przez \(E(x)\) lub \(\lfloor x \rfloor\).
Cecha
Funkcja \(y=[x]\) jest niemalejąca (przedziałami stała). Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) spełniona jest podwójna nierówność
\[x-1\lt\left[x\right]\le x\]Dodatkowo dla każdego \(k\in\mathbb{Z}\) zachodzi \[\left[x+k\right]=\left[x\right]+k\]
Przykład
Obliczymy cechę wybranych liczb rzeczywistych:
\(\left[5\right]=5\)
\([\pi]=3\)
\(\left[2{4\over 7}\right]=2\)
\(\left[{3\over 2}\right]=1\)
\(\left[{3\over 4}\right]=0\)
\(\left[0,32\right]=0\)
\(\left[0\right]=0\)
\(\left[-0,6 \right]=-1\)
\(\left[-\sqrt{2} \right]=-2\)
\(\left[-{6\over 5}\right]=-2\)
\(\left[-3,5\right]=-4\)
\(\left[-7\right]=-7\)
Mantysą nazywamy wartość funkcji, oznaczanej symbolem \(\{x\}\), taką, że \[ \bigwedge_{x\in\mathbb{R}}\quad \{x\}=x-[x] \] Funkcja \(y=\{x\}\) nazywana jest również częścią ułamkową liczby rzeczywistej.
Mantysa
Funkcja \(y=\{x\}\) jest ograniczona i przedziałami rosnąca. Jest też funkcją okresową o okresie podstawowym \(T=1\).
Przykład
Obliczymy mantysę wybranych liczb rzeczywistych:
\(\left\{6\right\}=6-6=0\)
\(\{3,1\}=3,1-3=0,1\)
\(\left\{\pi\right\}=\pi - 3\)
\(\left\{{4\over 3}\right\}={4\over 3}-1={1\over 3}\)
\(\left\{3{2\over 7}\right\}=3{2\over 7}-3={2\over 7}\)
\(\left\{0\right\}=0\)
\(\left\{-0,78\right\}=-0,78-(-1)=0,22\)
\(\left\{-{7\over 6}\right\}=-{7\over 6}-(-2)={5\over 6}\)
\(\left\{-2{1\over 4}\right\}=-2{1\over 4}-(-3)={3\over 4}\)
\(\left\{-5,6\right\}=-5,6-(-6)=0,4\)
\(\left\{-7\right\}=-7-(-7)=0\)
\(\left\{-\sqrt{13}\right\}=-\sqrt{13}-(-4)=4-\sqrt{13}\)
Funkcją signum nazywamy funkcję \(\hbox{sgn}\: : \mathbb{R} \longrightarrow \{-1,0,1\}\) określoną wzorem \[ \hbox{sgn}\: (x)=\cases{-1 &dla \(\ x<0\) \cr 0 &dla \(\ x=0\)\cr 1 &dla \(\ x>0\)\cr} \]
Signum
Funkcja \(y=\hbox{sgn}\: (x)\) jest ograniczona i niemalejąca (przedziałami stała).
Funkcją Dirichleta nazywamy funkcję \(D : \mathbb{R}\longrightarrow \{0,1\}\) określoną wzorem \[ D(x)=\cases{1 &dla \(\ x\in\mathbb{Q}\) \cr 0 &dla \(\ x\notin \mathbb{Q}\)\cr } \] Wykres funkcji Dirichleta jest przedstawiany
symbolicznie, gdyż niemożliwe jest dokładne oddzielenie liczb wymiernych od liczb niewymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych.
Funkcja Dirichleta
Funkcja \(y=D(x)\) jest ograniczona. Jest też funkcją okresową. Nie ma jednak okresu podstawowego, ponieważ każda dodatnia liczba wymierna jest jej okresem, więc nie istnieje okres najmniejszy.