Współrzędne wierzchołka paraboli \(y=ax^2+bx+c\) \[p=-{b\over 2a}, \qquad q=-{\Delta\over 4a}\]
Wzory skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\)
  • \(\Delta>0\quad \Longrightarrow \quad x_1={-b-\sqrt{\Delta}\over 2a}, \quad x_2={-b+\sqrt{\Delta}\over 2a}\)
  • \(\Delta=0 \quad \Longrightarrow\quad x_0={-b\over 2a}\)
  • \(\Delta<0\quad \Longrightarrow \quad\) brak miejsc zerowych

Postacie funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna

Rozpoczniemy od postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, w której widoczne są współrzędne wierzchołka paraboli będącej jej wykresem.
Definicja
Postacią kanoniczną funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) nazywamy postać \[ y=a(x-p)^2+q, \] gdzie \(p=-{b\over 2a}\) i \(q=-{\Delta\over 4a}\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Uwaga
Jeżeli \(b=0\), to postać ogólna funkcji kwadratowej \({y=ax^2+c}\) jest jednocześnie jej postacią kanoniczną.
W poniższym zadaniu znajdują się przykłady pokazujące sposoby wyznaczania postaci kanonicznej funkcji kwadratowej przy pomocy współrzędnych wierzchołka paraboli będącej jej wykresem oraz wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie
Przedstaw w postaci kanonicznej daną funkcję kwadratową:
  1. \(y=x^2-2x+5\)
    Ponieważ \(\Delta = -16\) i \(a=1\), to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(y=x^2-2x+5\) są: \[ p=-{b\over 2a}=1, \qquad q=-{\Delta\over 4a}=4 \] Zatem postać kanoniczna tej funkcji kwadratowej to \[ y=(x-1)^2+4 \] Zauważmy, że postać kanoniczną można otrzymać, wykorzystując wzór skróconego mnożenia \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\] Biorąc w tym wzorze za \(a\) niewiadomą \(x\), odpowiednio dobieramy \(b\) tak, aby \(2xb=2x\), czyli bierzemy \(b=1\). Wyrażenie \((x-1)^2=x^2-2x+1\) różni się od \(x^2-2x+5\) o \(4\). Dlatego otrzymujemy \[y=x^2-2x+5=(x-1)^2+4,\] co daje nam uzyskaną wcześniej postać kanoniczną.
  2. \(y=x^2+3x+1\)
    Ponieważ \(\Delta = 5\) i \(a=1\), to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(y=x^2+3x+1\) są: \[ p= -{3\over 2}, \qquad q= -{5\over 4} \] Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to \[ y=\left(x+{3\over 2}\right)^2-{5\over 4} \] Podobnie jak w poprzednim przykładzie możemy zastosować wzór skróconego mnożenia \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\] przyjmując \(a=x\) i dobierając \(b\) tak, aby \(2xb= 3x\), czyli \(b={3\over 2}\). Zatem \(\left(x+{3\over 2}\right)^2=x^2+3x+{9\over 4}\), stąd \[y=x^2+3x+1=\left(x+{3\over 2}\right)^2-{5\over 4},\] co daje nam wcześniej otrzymaną postać kanoniczną.
  3. \(y=3x^2+4x+1\)
    Ponieważ \(\Delta = 4\) i \(a=3\), to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(y=3x^2+4x+1\) są: \[ p=-{b\over 2a}=-{2\over 3}, \qquad q=-{\Delta\over 4a}=-{1\over 3} \] Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to \[ y=3\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 3} \] Możemy też wyznaczyć postać kanoniczną, wyciągając najpierw \(3\) przed nawias, a następnie podobnie jak w poprzednim przykładzie stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. \[ \eqalign{ y=3x^2+4x+1&=3\left(x^2+{4\over 3}x+{1\over 3}\right)=3\left[\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 9}\right]=\cr &=3\left(x+{2\over 3}\right)^2-{1\over 3}\cr } \]
  4. \(y=2x^2-8x+8\)
    Ponieważ \(\Delta = 0\) i \(a=2\), to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \(y=2x^2-8x+8\) są: \[ p= 2, \qquad q= 0 \] Wobec tego postać kanoniczna tej funkcji to \[ y=2\left(x-2\right)^2 \]
  5. \(y=-3x^2+4\)
    Ponieważ w postaci ogólnej funkcji \(y=-3x^2+4\) współczynnik \(b\) jest równy zero, to współrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji są: \[p=0,\quad q=4\] W takim przypadku postać ogólna funkcji jest jednocześnie jej postacią kanoniczną.

Postać iloczynowa

Kolejną postacią funkcji kwadratowej jest postać iloczynowa w której widoczne są miejsca zerowe tej funkcji.
Definicja
Postacią iloczynową funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) \((a\neq 0)\) nazywamy postać \[ y=a(x-x_1)(x-x_2), \] gdzie \(x_1\), \(x_2\) są jej miejscami zerowymi.
Uwaga
Jeżeli \(\Delta=0\), to postać iloczynowa funkcji kwadratowej \({y=ax^2+bx+c}\) wyraża się wzorem \[ y=a(x-x_0)^2, \] gdzie \(x_0\) jest jej miejscem zerowym.
Jeżeli \(\Delta\lt 0\), to postać iloczynowa funkcji kwadratowej \({y=ax^2+bx+c}\) nie istnieje.
W poniższym zadaniu znajdują się przykłady pokazujące sposoby wyznaczania postaci iloczynowej funkcji kwadratowej przy pomocy jej miejsc zerowych oraz wzorów skróconego mnożenia.
Zadanie
Przedstaw w postaci iloczynowej daną funkcję kwadratową:
  1. \(y=2x^2+2x-12\)
    Ponieważ \(\Delta = 2^2-4\cdot 2\cdot (-12)=4+96=100\), to \(\sqrt{\Delta}=10\). Zatem miejsca zerowe to: \[ x_1= {-2-10 \over 4 } =-3, \qquad x_2= {-2+10 \over 4 } = 2 \] Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(y=2x^2+2x-12\) to \[ y=2(x+3)(x-2) \]
  2. \(y=3x^2+4x+1\)
    Ponieważ \(\Delta = 4\), zatem miejsca zerowe to: \[ x_1= -1, \qquad x_2= -{1\over 3} \] Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(y=3x^2+4x+1\) to \[ y=3\left(x+1\right)\left(x+{1\over 3}\right) \] Po pomnożeniu drugiego nawiasu przez \(3\) otrzymujemy postać \[ y=\left(x+1\right)\left(3x+1\right) \] wygodniejszą w niektórych zadaniach.
  3. \(y=x^2-3x+1\)
    Ponieważ \(\Delta = 5\), zatem miejsca zerowe to: \[ x_1= {3-\sqrt{5}\over 2}, \qquad x_2= {3+\sqrt{5}\over 2} \] Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(y=x^2-3x+1\) to \[ y=\left(x-{3-\sqrt{5}\over 2}\right)\left(x-{3+\sqrt{5}\over 2}\right) \]
  4. \(y=4x^2-8x+4\)
    Ponieważ \(\Delta = 0\), to jedynym miejscem zerowym jest \(x_0= 1\). Wobec tego postać iloczynowa funkcji kwadratowej \(y=4x^2-8x+4\) to \[ y=4\left(x-1\right)^2 \] Możemy też wyznaczyć postać iloczynową, wyciągając najpierw \(4\) przed nawias, a następnie stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. \[ y=4\left(x^2-2x+1\right)=4\left(x-1\right)^2 \]
  5. \(y=2x^2+12x+18\)
    Aby zapisać trójmian kwadratowy \(2x^2+12x+18\) w postaci iloczynowej, wyciągniemy najpierw \(2\) przed nawias, a następnie skorzystamy ze wzoru skróconego możenia na kwadrat sumy. \[y=2x^2+12x+18=2(x^2+6x+9)=2\left(x+3\right)^2\]
  6. \(y=9x^2-2\)
    Aby zapisać trójmian kwadratowy \(9x^2-2\) w postaci iloczynowej, wyciągniemy najpierw \(9\) przed nawias, a następnie skorzystamy ze wzoru skróconego możenia na różnicę kwadratów. \[\eqalign{y=9x^2-2&=9\left(x^2-\frac{2}{9}\right)=9\left[\left(x\right)^2-\left(\frac{\sqrt 2}{3}\right)^2\right]=\cr &=9\left(x-\frac{\sqrt 2}{3}\right)\left(x+\frac{\sqrt 2}{3}\right)\cr}\]
  7. \(y=x^2-x+6\)
    Ponieważ \(\Delta = 1-24=-23\), to funkcja kwadratowa \(y=x^2-x+6\) nie ma miejsc zerowych, więc jej postać iloczynowa nie istnieje.