Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Jeżeli liczba całkowita \(p\not=0\) jest pierwiastkiem wielomianu \[ W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots+ a_1 x + a_0 \] o współczynnikach całkowitych, to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
Twierdzenie Bezouta
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Liczba \(x_0\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian \(P(x)\) taki, że \[W(x) = (x-x_0)P(x),\] czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-x_0\).
Definicja i własności funkcji wymiernej
Rozpoczniemy od ogólnej definicji funkcji wymiernej, a następnie omówimy dokładnie jej szczególny przypadek, czyli tzw. proporcjonalność odwrotną.
Funkcją wymierną nazywamy funkcję \(f\), która ma postać \[ f(x)={W(x)\over Q(x)}, \]
gdzie \(W(x)\), \(Q(x)\) są wielomianami, przy czym wielomian \(Q(x)\) nie jest wielomianem zerowym.
Dziedziną funkcji wymiernej \(f(x)={W(x)\over Q(x)}\) jest zbiór
\[ D_f=\left\{x\in \mathbb{R}:\quad Q(x)\neq 0\right\} \]
Rozważmy szczególny przypadek funkcji wymiernej.
Funkcję wymierną, która ma postać \[ f(x)={a\over x}, \] gdzie \(a\neq 0\), nazywamy proporcjonalnością odwrotną.
Dziedziną i zbiorem wartości funkcji \(y={a\over x}\) jest zbiór \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\). Funkcja ta jest różnowartościowa i nieparzysta, a jej wykresem jest hiperbola.
Hiperbola \(y={a\over x}\)
Dla \(a>0\) funkcja \(y={a\over x}\) jest malejąca przedziałami, natomiast dla \(a<0\) jest rosnąca przedziałami.
Dziedzina naturalna funkcji wymiernej \(f(x)={W(x)\over Q(x)}\) zależy od wielomianu stojącego w jej mianowniku, który nie może się zerować. Zatem
\[ D_f=\left\{x\in \mathbb{R}:\quad Q(x)\neq 0\right\} \]
Zadanie
Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji \(f\) określonej za pomocą wzoru:
-
\(\displaystyle f(x)={3x^2+2x-1\over x+3}\)Mianownik funkcji wymiernej nie może być równy zero, więc \[ x+3\neq 0\quad \Longleftrightarrow\quad x\neq -3 \] Zatem \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-3\}\).
-
\(\displaystyle f(x)={-4x+1\over -x^2+3x+4}\)Dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór tych \(x\in\mathbb{R}\), które spełniają warunek \[ D_f: \quad -x^2+3x+4\neq 0 \] Miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego \(-x^2+3x+4\) są: \(-1\) i \(4\), więc \[ x\neq -1 \quad\wedge\quad x\neq 4 \] Zatem \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-1,4\}\).
-
\(\displaystyle f(x)={2\over x^3-3x^2-6x+8}\)Funkcja \(f\) jest określona dla argumentów spełniających warunek \[ D_f: \quad x^3-3x^2-6x+8\neq 0 \] Znajdziemy pierwiastki wielomianu \(Q(x)=x^3-3x^2-6x+8\). Zgodnie z twierdzeniem o pierwiastkach całkowitych takich pierwiastków wielomianu \(Q(x)\) należy szukać wśród dzielników wyrazu wolnego. Dzielniki liczby \(8\) to: \[1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8\] Ponieważ \[ Q(1)=1-3-6+8=0, \] więc \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(Q(x)\) i zgodnie z twierdzeniem Bezouta wielomian \(Q(x)\) jest podzielny przez dwumian \(x-1\). Podzielimy wielomian \(Q(x)\) przez \(x-1\), wykorzystując schemat Hornera.
Zatem wielomian \(Q(x)\) można zapisać w postaci \[ Q(x)=(x-1)\left( x^2-2x-8 \right) \] Po rozłożeniu trójmianu kwadratowego \(x^2-2x-8\) na czynniki otrzymujemy \[ Q(x)=(x-1)(x+2)(x-4) \] Zatem początkowy warunek \(Q(x)\neq 0\) jest równoważny z warunkiem \[ x-1\neq 0 \quad \wedge\quad x+2\neq 0 \quad \wedge\quad x-4\neq 0 \] Stąd \[ x\neq 1 \quad \wedge\quad x\neq -2 \quad \wedge\quad x\neq 4 \] Ostatecznie dziedziną funkcji \(f\) jest zbiór \(D_f=\mathbb{R}\backslash\{-2,1,4\}\).\(1\) \(-3\) \(-6\) \(8\) \(1\) \(1\) \(-2\) \(-8\) \(0\)