Określimy najpierw dziedzinę równania: \[ D:\quad x^2-3x+2\neq 0 \] \[ \qquad \quad\ (x-1)(x-2)\neq 0 \] \[ \qquad\quad\ x\neq 1\quad \wedge\quad x\neq 2 \] Zatem dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{1,2\}\).
Ponieważ ułamek zeruje się tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, to rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania równania \[ x^3-3x-2=0, \quad \hbox{gdy}\quad x\in D \] Dzielniki wyrazu wolnego wielomianu \(W(x)=x^3-3x-2\) to: \(1\), \(-1\), \(2\), \(-2\). Ponieważ \[ W(-1)=-1+3-2=0, \] to \(-1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\). Podzielimy wielomian \(W(x)\) przez dwumian \(x+1\), korzystając ze schematu Hornera.

	\(1\)	\(\czerwony{0}\)	\(-3\)	\(-2\)
\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(-2\)	\(0\)

Zatem równanie \(W(x)=0\) można zapisać w postaci \[ (x+1)\left(x^2-x-2\right)=0 \] Jeśli rozłożymy trójmian kwadratowy na czynniki, otrzymamy: \[ (x+1)^2(x-2)=0 \] \[ x=-1\quad \vee \quad x=2 \] Ponieważ \(2\notin D\), a \(-1\in D\), to jedynym rozwiązaniem zadanego równania jest \(x=-1\).

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{3\}\). Przenosimy \(2\) na lewą stronę równania \[ {1\over x-3}- 2= 0, \quad \hbox{gdy}\quad x\in D \] Sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika: \[ {1\over x-3}- {2(x-3)\over x-3}= 0 \] \[ {1-(2x-6)\over x-3}=0 \] \[ {1-2x+6\over x-3}= 0 \] \[ {7-2x\over x-3}= 0 \] Ponieważ ułamek może się zerować tylko wtedy, gdy jego licznik jest zerem, więc pozostaje rozwiązać równanie: \[ \; \qquad \qquad 7-2x=0,\quad \hbox{gdy} \quad x\in D \] \[ x={7\over 2}\] Na koniec sprawdzamy, że otrzymana liczba \({7\over 2}\in D\) i jest rozwiązaniem początkowego równania.

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{2\}\). Postępujemy jak w poprzednim przykładzie i otrzymujemy: \[ {x+4\over x-2}-3= 0, \quad \hbox{gdy}\quad x\in D \] \[ {x+4\over x-2}-{3(x-2)\over x-2}= 0 \] \[ {x+4-(3x-6)\over x-2}= 0 \] \[ {x+4-3x+6\over x-3}= 0 \] \[ {10-2x\over x-3}= 0 \] \[ 10-2x=0 \] \[ x=5 \] Na koniec sprawdzamy, że otrzymana liczba należy do dziedziny równania, tzn. \(5\in D=\mathbb{R}\backslash\{2\}\).
Możliwe jest inne poprowadzenie rozwiązania. Ponieważ \(x\neq 2\), więc można obie strony początkowego równania pomnożyć przez dwumian \(x-2\): \[ \qquad {x+4\over x-2}=3/\cdot (x-2) \] \[ \quad x+4=3(x-2) \] \[ x+4=3x-6 \] \[ \qquad\quad\: -2x=-10/:(-2) \] \[ x=5 \] Należy jednak pamiętać, że powyższego postępowania nie stosuje się w przypadku nierówności wymiernych, gdyż dwumian \(x-2\) przyjmuje wartości dodatnie oraz ujemne dla \(x\in D\).

Dziedziną równania jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{-2,1\}\). Zakładając, że \(x\in D\), obie strony równania mnożymy przez wielomian \((x-1)(x+2)\): \[ {3\over x-1}={2x\over x+2}+2/\cdot (x-1)(x+2) \] \[ 3(x+2)=2x(x-1)+2(x-1)(x+2) \] Porządkujemy obie strony równania: \[ 3x+6=2x^2-2x+2(x^2+2x-x-2) \] \[ 3x+6=4x^2-4 \] \[ 4x^2-3x-10=0 \] Ponieważ \(\Delta=169\), a \(\sqrt{\Delta}=13\), to: \[ x={3+13\over 8}\quad \vee \quad x={3-13\over 8} \] \[ \quad x=2\quad \vee \quad x=-{5\over 4} \] Otrzymane liczby należą do zbioru \(D\), więc są rozwiązaniami równania.

Rozłożymy mianowniki na czynniki \[ {2\over (x-1)(x+3)}+{x-3\over (x-1)(x+2)}={1\over x-1} \] Możemy teraz wyznaczyć dziedzinę równania. Ponieważ mianowniki muszą być różne od zera, to \(D=\mathbb{R}\backslash\{-3,-2,1\}\). Zakładając, że \(x\in D\), obie strony równania mnożymy przez wielomian \((x-1)(x+2)(x+3)\): \[ {2\over (x-1)(x+3)}+{x-3\over (x-1)(x+2)}=\left.{1\over x-1}\quad \right/\cdot (x-1)(x+2)(x+3) \] \[ 2(x+2)+(x-3)(x+3)=(x+2)(x+3) \] \[ 2x+4+x^2-9=x^2+5x+6 \] \[ -3x=11/:(-3) \] \[ x=-{11\over 3}\quad \wedge \quad x\in D \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{0\}\). Zakładając, że \(x\in D\), przenosimy \(1\) na lewą stronę równania: \[ {1\over x}-1 \geq 0 \] \[ {1\over x}-{x\over x} \geq 0 \] \[ {1-x\over x} \geq 0 \] Zbiór rozwiązań powyższej nierówności wymiernej jest równy zbiorowi rozwiązań nierówności wielomianowej \[ (1-x)x \geq 0 \] przy założeniu, że \(x\in D\). Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(1-x)x\) dla \(x\in D\). Z rysunku, uwzględniając dziedzinę nierówności, odczytujemy jej rozwiązanie \[ x\in\left(0,1\right> \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{2\}\). Zakładając, że \(x\in D\), przekształcamy nierówność jak w poprzednim przykładzie: \[ {3\over x-2}-4<0 \] \[ {3\over x-2}-{4(x-2)\over x-2}<0 \] \[ {3-(4x-8)\over x-2}<0 \] \[ {-4x+11\over x-2}<0 \] Znak ilorazu \({-4x+11\over x-2}\) jest taki sam jak znak iloczynu \((-4x+11)(x-2)\), więc rozwiązujemy nierówność wielomianową \[ (-4x+11)(x-2)<0 \quad \hbox{dla}\quad x\in D \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(-4x+11)(x-2)\) dla \({x\in D}\). Z rysunku, uwzględniając dziedzinę nierówności, odczytujemy jej rozwiązanie \[ x\in\left(-\infty,2\right)\cup \left({11\over 4},\infty\right) \]

Dziedziną nierówności jest zbiór \(D=\mathbb{R}\backslash\{-2,1\}\). Zakładając, że \(x\in D\), postępujemy jak w poprzednim przykładzie: \[ {x\over x-1}-{4\over x+2}\geq 0 \] \[ {x(x+2)\over (x-1)(x+2)}-{4(x-1)\over (x-1)(x+2)}\geq 0 \] \[ {x^2+2x\over (x-1)(x+2)}-{4x-4\over (x-1)(x+2)}\geq 0 \] \[ {x^2+2x -4x+4\over (x-1)(x+2)}\geq 0 \] \[ {x^2-2x+4\over (x-1)(x+2)}\geq 0 \] \[ (x^2-2x+4)(x-1)(x+2)\geq 0\quad \hbox{dla} \quad x\in D \] Ponieważ trójmian kwadratowy \(x^2-2x+4\) przyjmuje tylko wartości dodatnie (\(\Delta=-12<0\), \(a=1>0\)), można więc podzielić przez niego obie strony nierówności. Wówczas \[ (x-1)(x+2)\geq 0 \quad \hbox{dla}\quad x\in D= \mathbb{R}\backslash\{-2,1\} \] Rysujemy parabolę będącą wykresem funkcji \(y=(x-1)(x+2)\) dla \(x\in D\). Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności \[ x\in\left(-\infty,-2\right)\cup \left(1,\infty\right) \]