Wykres funkcji kwadratowej

Definicja
Wykres funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\), gdzie \(a\neq 0\), nazywamy parabolą.
Rozważmy najpierw wykres funkcji \(\boldsymbol{y=x^2}\), którym jest parabola z ramionami skierowanymi w górę.
Rysunek przedstawiający wykres funkcji kwadratowej y równa się x kwadrat.
Parabola \(y=x^2\)
Z wykresu możemy odczytać własności tej funkcji. Funkcja \(y=x^2\) przyjmuje tylko wartości nieujemne. Jest ona malejąca w przedziale \(\left(-\infty, 0\right>\) i rosnąca w przedziale \(\left<0,\infty\right)\). Posiada jedno miejsce zerowe \(x_0=0\). Jest ograniczona z dołu i jest parzysta. Punkt \((0,0)\) nazywamy wierzchołkiem paraboli.
Wykres funkcji \(\boldsymbol{y=ax^2}\) dla \(a\gt 0\) również ma kształt paraboli o wierzchołku w początku układu współrzędnych i ramionach skierowanych w górę. Porównując go z wykresem funkcji \(y=x^2\), możemy zauważyć, że:
  • jeżeli \(0 <a<1\), to ramiona paraboli \(\czerwony{\boldsymbol{y=ax^2}}\) leżą dalej od osi \(Oy\) niż ramiona paraboli \(y=x^2\),
  • jeżeli \(a>1\), to ramiona paraboli \(\zielony{\boldsymbol{y=ax^2}}\) leżą bliżej osi \(Oy\) niż ramiona paraboli \(y=x^2\).
Rysunek przedstawiający wykres funkcji kwadratowej, której współczynnik przy x kwadrat jest liczbą dodatnią mniejszą od 1, w porównaniu z wykresem funkcji y równa się x kwadrat.
Rysunek przedstawiający wykres funkcji kwadratowej, której współczynnik przy x kwadrat jest liczbą większą niż 1, w porównaniu z wykresem funkcji y równa się x kwadrat.
Parabola \(y=ax^2\) dla \(a\gt0\)
Dla \(a<0\) wykres funkcji \(y=ax^2\) otrzymujemy z wykresu funkcji \(y=\vert a\vert x^2\) poprzez symetrię względem osi \(Ox\).
Rysunek przedstawiający wykres funkcji kwadratowej, której współczynnik a jest liczbą ujemną, w porównaniu z wykresem funkcji kwadratowej o współczynniku przy x kwadrat równym wartości bezwzględnej z a.
Parabola \( y=ax^2\) dla \( a\lt 0\)
Wykres funkcji kwadratowej \(\czerwony{\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}}\) \((a\neq0)\) otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji \(\niebieski{\boldsymbol{y=ax^2}}\) o wektor \(\zielony{\boldsymbol{\vec{v}=[p,q]}}\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W(p,q)\), gdzie \[ p=-{b\over 2a}, \qquad q=-{\Delta\over 4a} \]
Rysunek przedstawiający przesunięcie o wektor v wykresu funkcji kwadratowej.
Parabola \(y=a(x-p)^2 +q\) dla \(a\gt 0\)
Zadanie
Narysuj wykres funkcji kwadratowej \(f\) przedstawionej za pomocą wzoru:
  1. \(f(x)=x^2-x-2\)
    Aby narysować parabolę będącą wykresem funkcji kwadratowej, należy sprawdzić, czy przecina ona oś \(Ox\) oraz jakie są współrzędne jej wierzchołka. Obliczamy najpierw wyróżnik trójmianu kwadratowego. Ponieważ \(\Delta = 9\), dlatego miejscami zerowymi są: \[ x_1= -1, \qquad x_2= 2 \] a współrzędne wierzchołka paraboli to: \[ p={1\over 2}, \qquad q=-{9\over 4} \] Ponieważ \(a=1>0\), to wykresem funkcji kwadratowej \(y=x^2-x-2\) jest parabola z ramionami skierowanymi w górę, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.
  2. \(f(x)=-2x^2+4x\)
    Ponieważ \(\Delta = 16\), dlatego miejscami zerowymi są: \[ x_1= 0, \qquad x_2= 2 \] a współrzędne wierzchołka paraboli to: \[ p=1, \qquad q=2 \] Ponieważ \(a=-2<0\), to wykresem funkcji kwadratowej \(y=-2x^2+4x\) jest parabola z ramionami skierowanymi w dół, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.
  3. \(f(x)=x^2-2x+2\)
    Ponieważ \(\Delta =-4\), dlatego funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych, a współrzędne wierzchołka paraboli to: \[ p=1, \qquad q=1 \] Ponieważ \(a=1>0\), to wykresem funkcji kwadratowej \(y=x^2-2x+2\) jest parabola z ramionami skierowanymi w górę, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.
  4. \(f(x)=-x^2-1\)
    Zauważmy, że wykres funkcji kwadratowej \(y=-x^2-1\) możemy otrzymać przesuwając wykres funkcji \(y=-x^2\) o wektor \(\overrightarrow{v}=\left[0,-1\right]\). Oznacza to, że wykresem funkcji \(y=-x^2-1\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \((0,-1)\) i ramionach skierowanych w dół, jak na poniższym rysunku.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.
Zadanie
Narysuj wykres funkcji:
  1. \(y=\vert x^2+x-2\vert\)
    Narysujemy najpierw wykres funkcji \(y=x^2+x-2\). Ponieważ \(\Delta = 9\), to miejscami zerowymi są: \[ x_1= -2, \qquad x_2=1 \] a współrzędne wierzchołka paraboli to: \[ p=-{1\over 2}, \qquad q=-{9\over 4} \] Wykres funkcji \(y=\vert x^2-4x-5\vert\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=x^2+x-2\), gdy \(y\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu względem osi \(Ox\), gdy \(y<0\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający pomocniczy wykres funkcji.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.
  2. \(y=\vert x\vert^2-3\vert x\vert+2\)
    Narysujemy pomocniczo wykres funkcji \(y=x^2-3x+2\). Ponieważ \(\Delta = 1\), to miejscami zerowymi są: \[ x_1= 1, \qquad x_2= 2 \] a współrzędne wierzchołka paraboli to: \[ p={3\over 2}, \qquad q=-{1\over 4} \] Wykres funkcji \(y=\vert x\vert^2-3\vert x\vert+2\vert\) otrzymujemy po pozostawieniu bez zmian części wykresu funkcji \(y=x^2-3x+2\), gdy \(x\geq 0\), oraz po symetrycznym odbiciu tego fragmentu względem osi \(Oy\), jak na poniższym rysunku.
    Rysunek przedstawiający pomocniczy wykres funkcji.
    Rysunek będący rozwiązaniem zadania.

Położenie wykresu funkcji \(f(x)=ax^2+bx+c\) względem osi \(Ox\) zależy od współczynnika \(a\) (\(a\neq 0\)) i wyróżnika \(\Delta\) w następujący sposób:

  • znak współczynnika \(a\) decyduje o kierunku ramion paraboli,
  • wartość wyróżnika \(\Delta\) decyduje o liczbie punktów wspólnych paraboli z osią \(Ox\).
Istnieje zatem sześć różnych możliwości, które przedstawione są na poniższym rysunku.
Rysunek przedstawiający sześć różnych przypadków położenia paraboli względem osi Ox. W pierwszym przypadku, gdy współczynnik a i wyróżnik delta są liczbami dodatnimi, parabola ma ramiona w górę i dwukrotnie przecina oś Ox. W drugim przypadku, gdy współczynnik a jest dodatni, a wyróżnik delta jest równy zero, parabola ma ramiona w górę i tylko jeden raz styka się z osią Ox. W trzecim przypadku, gdy współczynnik a jest dodatni, a wyróżnik delta jest ujemny, parabola ma ramiona w górę i leży ponad osią Ox. W czwartym przypadku, gdy współczynnik a jest ujemny, a wyróżnik delta jest dodatni, parabola ma ramiona w dół i dwukrotnie przecina oś Ox. W piątym przypadku, gdy współczynnik a jest ujemny, a wyróżnik delta jest równy zero, parabola ma ramiona w dół i tylko jeden raz styka się z osią Ox. W szóstym przypadku, gdy współczynnik a i wyróżnik delta są liczbami ujemnymi, parabola ma ramiona w dół i leży pod osią Ox.

Widzimy zatem, że zbiór wartości \(W_f\) funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) zależy od wartości współczynnika \(a\) (\(a\neq 0\)) oraz od drugiej współrzędnej \(q=-\frac{\Delta}{4a}\) wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli będącej jej wykresem w następujący sposób:

  • jeżeli \(a\gt 0\), to \(W_f=\left< q,\infty\right)\),
  • jeżeli \(a\lt 0\), to \(W_f=\left(-\infty, q\right>\).

Możemy również zauważyć, że maksymalne przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx+c\) zależą od wartości współczynnika \(a\) (\(a\neq 0\)) oraz od pierwszej współrzędnej \(p=-\frac{b}{2a}\) wierzchołka \(W(p,q)\) paraboli będącej jej wykresem w następujący sposób:

  • jeżeli \(a\gt 0\), to funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left(-\infty, p\right>\) oraz rosnąca w przedziale \(\left< p,\infty\right)\),
  • jeżeli \(a\lt 0\), to funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \(\left< p,\infty\right)\) oraz rosnąca w przedziale \(\left(-\infty, p\right>\).

Poniższy aplet GeoGebry pozwala zauważyć, jak zmienia się wykres funkcji kwadratowej \(y=ax^2+bx+c\) w zależności od wartości parametrów \(a\), \(b\) oraz \(c\).