Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Definicja
Wartością bezwzględną (modułem) liczby rzeczywistej \(a\) nazywamy liczbę nieujemną \(\vert a \vert\) określoną następująco \[ \vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\hbox{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\hbox{dla} \quad a < 0 \cr} \right. \]
Przykład
Obliczymy wartości bezwzględne liczb rzeczywistych:
  • \(\vert 0 \vert = 0\)
  • \(\vert 6 \vert = 6\),  gdyż \(\ 6>0\)
  • \(\vert -3 \vert = 3\),  gdyż \(\ -3<0\)
  • \(\left\vert -5\frac{1}{2} \right\vert = 5{1\over2}\),  gdyż \(\ -5{1\over2}<0\)
  • \(\left\vert 1-\sqrt{2} \right\vert = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1\),  gdyż \(\ 1-\sqrt{2}<0\)
  • \(\left\vert \sqrt{3} -1 \right\vert = \sqrt{3} - 1\),  gdyż \(\ \sqrt{3}-1>0\)
  • \(\left\vert \pi -4 \right\vert = -(\pi-4)=4-\pi\),  gdyż \(\ \pi -4<0\)
  • \(\vert 2\pi -6 \vert = 2\pi-6\),  gdyż \(\ 2\pi-6>0\)
Zadanie
Oblicz wartość wyrażenia:
  1. \(\vert -x \vert\quad\) dla \(\quad x=3\), \(\ x=-4\), \(\ x=1-\sqrt{3}\), \(\ x=\pi - 1\), \(x={\sqrt{2}\over 2}-1\)

    Dla \(\ x=3\ \) mamy \(\ \vert -3\vert = 3\).

    Dla \(\ x=-4\ \) mamy \(\ \vert -(-4)\vert =\vert 4\vert = 4\).

    Dla \(\ x=1-\sqrt{3}\ \) mamy \(\ \left\vert -(1-\sqrt{3})\right\vert =\left\vert \sqrt{3}-1\right\vert = \sqrt{3}-1,\ \) bo \(\ \sqrt{3}-1>0\).

    Dla \(\ x=\pi - 1\ \) mamy \(\ \vert -(\pi - 1)\vert =\vert 1 - \pi \vert = \pi - 1,\ \) bo \(\ 1-\pi<0\).

    Dla \(\ x={\sqrt{2}\over 2}-1\ \) mamy \(\ \left\vert -\left({\sqrt{2}\over 2}-1\right)\right\vert =\left\vert 1 - {\sqrt{2}\over 2} \right\vert = 1 - {\sqrt{2}\over 2},\ \) bo \(\ 1 - {\sqrt{2}\over 2}>0\).

  2. \(\vert 2-x \vert\quad \) dla \(\quad x=2\), \(\ x=-2\), \(\ x=3\), \(\ x=-2\sqrt{2}\), \(\ x=2\sqrt{3}\)

    Dla \(\ x=2\ \) mamy \(\ \vert 2-2\vert =\vert 0 \vert =0\).

    Dla \(\ x=-2\ \) mamy \(\ \vert 2-(-2)\vert =\vert 4 \vert =4\).

    Dla \(\ x=3\ \) mamy \(\ \vert 2-3\vert =\vert -1 \vert =1\).

    Dla \(\ x=-2\sqrt{2}\ \) mamy \(\ \left\vert 2-(-2\sqrt{2})\right\vert =\left\vert 2+2\sqrt{2} \right\vert =2+2\sqrt{2}\).

    Dla \(\ x=2\sqrt{3}\ \) mamy \(\ \left\vert 2-2\sqrt{3}\right\vert = 2\sqrt{3} - 2\).

Z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej wynika wiele własności, które będziemy wykorzystywać rozwiązując różnego typu zadania.
Własność
Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a,b\) prawdziwe są następujące własności wartości bezwzględnej:
  1. \(\vert a \vert \geq 0\),  przy czym \(\ \vert a \vert = 0 \ \Longleftrightarrow \ a=0\)
  2. \(\vert -a \vert =\vert a \vert\)
  3. \(\vert a \vert =\vert b \vert\ \Longleftrightarrow \ a=b\ { \vee}\ a=-b\)
  4. \(\vert a\cdot b \vert =\vert a \vert \cdot \vert b \vert\)
  5. \(\left\vert {a\over b} \right\vert ={\vert a \vert \over \vert b \vert}\),  o ile \(\ b\neq 0\)
  6. \(\vert a+b \vert \leq \vert a \vert + \vert b \vert\)
Geometrycznie \(\vert a \vert\) oznacza odległość punktu \(a\) od punktu \(0\) na osi liczbowej, \(\vert b-a\vert\) lub \(\vert a-b\vert\) to odległość między punktami \(a\) i \(b\) na osi liczbowej.
Rysunek przedstawiający odległości punktów a i b od punktu 0 na osi liczbowej.
Rysunek przedstawiający odległość między punktami a i b na osi liczbowej.
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
Przykład
Odległość na osi liczbowej punktu \(-3\) od punktu \(0\) jest równa \[\vert -3-0\vert=\vert -3\vert =3\] Odległość między punktami \(-2\) i \(7\) wynosi \[\vert -2-7\vert =\vert -9\vert =9\]
Z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej wynika, że proste równanie lub nierówność z wartością bezwzględną można zapisać w sposób równoważny bez użycia wartości bezwzględnej.
Fakt
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) oraz \(a>0\) mamy:
  1. \(\vert x \vert =a \quad\Longleftrightarrow \quad x=a\ \vee\ x=-a\)
  2. \(\vert x \vert < a \quad \Longleftrightarrow \quad -a <x<a \)
  3. \(\vert x \vert \le a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \le x\le a \)
  4. \(\vert x \vert >a \quad \Longleftrightarrow \quad x<-a\ \vee\ x>a\)
  5. \(\vert x \vert \ge a \quad \Longleftrightarrow \quad x\le -a\ \vee\ x\ge a\)
Na poniższych rysunkach zaznaczone zostały zbiory rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną dla \(a>0\).
Rysunek przedstawiający na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności wartość bezwzględna z x mniejsza niż a.
Rysunek przedstawiający na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności wartość bezwzględna z x mniejsza lub równa a.
Rysunek przedstawiający na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności wartość bezwzględna z x większa niż a.
Rysunek przedstawiający na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności wartość bezwzględna z x większa lub równa a.

Ponadto z definicji wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej wynika, że równania i nierówności z wartością bezwzględną mogą być także sprzeczne lub tożsamościowe.

Fakt
Dla dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) oraz \(a<0\) mamy:
  1. \(\vert x \vert =a \quad\Longrightarrow \quad\)równanie sprzeczne
  2. \(\vert x \vert < a \quad \Longrightarrow \quad\)nierówność sprzeczna
  3. \(\vert x \vert >a \quad \Longrightarrow \quad x\in \mathbb{R}\)
Rozwiązując równania z wartością bezwzględną, korzystamy z podanych wcześniej własności i faktów, które pozwalają na opuszczenie wartości bezwzględnej i zapisanie równania w równoważnej postaci.
Zadanie
Rozwiąż równanie:
  1. \(\vert x \vert =4\)
    Ponieważ \(\vert x\vert=a \Longleftrightarrow x=a\vee x=-a\) dla \(a\gt 0\), to dla \(a=4\) otrzymujemy \[ \vert x \vert =4\quad \Longleftrightarrow\quad x=4 \quad \vee \quad x=-4 \]
  2. \(\vert 3x\vert = 5\)
    Ponieważ \(\vert x\vert=a \Longleftrightarrow x=a\vee x=-a\) dla \(a\gt 0\), to dla \(a=5\) otrzymujemy \[ \vert 3x \vert =5\quad \Longleftrightarrow\quad 3x=5 \quad \vee \quad 3x=-5 \] Zatem \(x={5\over 3}\) lub \(x=-{5\over 3}\).
  3. \(\vert 4x\vert =0\)
    Ponieważ \(\vert x\vert=0 \Longleftrightarrow x=0\), to \[ \vert 4x \vert =0\quad \Longleftrightarrow\quad 4x=0 \] Zatem \( x=0 \).
  4. \(\vert 3x\vert =-6\)
    Ponieważ \(-6\) jest liczbą ujemną, to równanie jest sprzeczne.
  5. \(\vert 2x-7\vert = 5\)
    Ponieważ \(\vert x\vert=a \Longleftrightarrow x=a\vee x=-a\) dla \(a\gt 0\), to mamy \[ \; \quad 2x-7 =5 \quad \vee \quad 2x-7=-5 \] \[ 2x=12 /:2 \quad \vee \quad 2x=2 /:2 \] \[ \: \ x=6 \quad \vee \quad x=1 \]
  6. \(\vert 3x+2\vert = 0\)
    Ponieważ \(\vert x\vert=0 \Longleftrightarrow x=0\), to mamy \[ \vert 3x+2 \vert =0\quad \Longleftrightarrow\quad 3x+2 =0 \] Zatem \[ 3 x=-2 \quad \Longleftrightarrow \quad x=-{2\over 3} \]
  7. \(\vert 5x+2\vert = -3\)
    Ponieważ \(-3\) jest liczbą ujemną, to równanie jest sprzeczne.
  8. \(\vert x-1\vert = \vert 2x+1\vert \)
    Przypomnijmy jedną z własności wartości bezwzględnej \[\vert a \vert = \vert b \vert\quad \Longrightarrow \quad a = b\quad \vee\quad a=-b\] Zatem \[ \eqalign{ x-1=2x+1 \quad &\vee \quad x-1=-2x-1 \cr x=-2 \quad &\vee \quad x=0 \cr } \]
  9. \(\vert 4x+3\vert = \vert 4x+5\vert \)
    Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[ 4x+3=4x+5 \quad \vee \quad 4x+3=-4x-5 \] \[ \ \; 3=5 \quad \vee \quad 8x=-8 \] Ponieważ pierwsze równanie jest sprzeczne, to rozwiązanie otrzymujemy po rozwiązaniu drugiego równania, gdzie \[ 8x=-8 \quad \Longleftrightarrow \quad x=-1 \]
Rozwiązując nierówności z wartością bezwzględną, korzystamy z podanych wcześniej faktów, które pozwalają na opuszczenie wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w równoważnej postaci.
Zadanie
Rozwiąż nierówność:
  1. \(\vert x \vert \leq 3\)
    Ponieważ \(\vert x\vert \le a\Longleftrightarrow -a \le x \le a\) dla \(a\gt 0\), to dla \(a=3\) mamy \[\vert x\vert \le 3\quad \Longleftrightarrow\quad -3 \le x \le 3\]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left<-3,3\right>\).
  2. \(\vert x \vert > 4\)
    Ponieważ \(\vert x\vert \gt a \Longleftrightarrow x\lt -a \vee x\gt a\) dla \(a\gt 0\), to dla \(a=4\) mamy \[ \vert x \vert > 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-4\quad \vee\quad x>4 \]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in (-\infty, -4)\cup (4,\infty)\).
  3. \(\vert x \vert >-3\)
    Wartość bezwzględna przyjmuje zawsze wartości nieujemne, więc nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \mathbb{R}\).
  4. \(\vert x \vert >0\)
    Wartość bezwzględna przyjmuje wartości dodatnie tylko dla liczb różnych od zera, zatem nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}\).
  5. \(\vert x \vert \leq -5\)
    Skoro \[ \vert x \vert \leq -5 \quad\Longleftrightarrow\quad \vert x \vert = -5 \quad\vee\quad \vert x \vert < -5, \] a liczba \(-5\) jest ujemna, to nierówność \(\vert x \vert \leq -5\) jest sprzeczna.
  6. \(\vert x \vert \leq 0\)
    Ponieważ \[ \vert x \vert \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vert x \vert = 0 \quad\vee\quad \vert x \vert < 0 \] oraz wartość bezwzględna przyjmuje tylko wartości nieujemne, dlatego nierówność \(\vert x \vert \leq 0\) jest równoważna z równaniem \[ \vert x \vert \leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vert x\vert = 0 \] Zatem \(x=0\).
  7. \(\vert 3x -4 \vert <2\)
    Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy podwójną nierówność \[ -2<3x-4<2 \] Możemy rozbić ją na dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie. Wtedy \[ -2<3x-4 \quad \wedge \quad 3x-4<2\quad \] \[ 3x>2 \quad \wedge \quad 3x<6 \] \[ x>{2\over 3} \quad \wedge \quad x<2 \ \]
    Rysunek przedstawiający na wspólnej osi liczbowej zbiory rozwiązań nierówności: x większy od dwóch trzecich oraz x mniejszy od dwóch.
    Powyższe rozwiązanie można poprowadzić również, stosując zapis \[ -2<3x-4<2 \] \[ \quad \quad 2<3x<6 /: 3 \] \[ {2\over 3} <x<2 \] Zatem \(x\in \left({2\over 3}, 2 \right)\).
  8. \(\vert -2x+5 \vert \geq 3\)
    Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[ \eqalign{ -2x+5\leq-3 \quad &\vee \quad -2x+5 \geq 3\cr -2x\leq-8 \quad &\vee \quad -2x\geq -2\cr x\geq4 \quad &\vee \quad x\leq 1\cr } \]
    Rysunek przedstawiający rozwiązanie zadania na osi liczbowej.
    Zatem \(x\in \left(-\infty, 1\right>\cup \left<4, \infty \right)\).
  9. \(\vert 4x-1 \vert \leq 0\)
    Ponieważ wartość bezwzględna przyjmuje wartości większe lub równe zero, stąd dana nierówność jest równoważna z równaniem \[ \vert 4x-1\vert =0 \] Zatem \(4x-1=0\), czyli \(x={1\over 4}\).
  10. \(4 \leq \vert 2x -3 \vert < 7\)
    Podwójną nierówność możemy zapisać jako dwie nierówności, które muszą być spełnione jednocześnie \[ 4 \leq \vert 2x -3 \vert \quad \wedge \quad \vert 2x -3 \vert < 7 \] Rozwiążemy najpierw nierówność \(4 \leq \vert 2x -3\vert\). Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[ \eqalignno{ 2x- 3\leq-4 \quad &\vee \quad 2x-3 \geq 4\cr x \leq -{1\over 2} \quad &\vee \quad x\geq {7\over 2}\cr } \]
    Rysunek przedstawiający na wspólnej osi liczbowej zbiory rozwiązań nierówności: x mniejszy lub równy minus jedna druga oraz x większy lub równy siedem drugich.
    Zatem \[ 4 \leq \vert 2x -3\vert \quad \Longleftrightarrow\quad x\in \left(-\infty, -{1\over 2} \right>\cup \left<{7\over 2}, \infty \right) \] Rozwiążemy teraz nierówność \(\vert 2x -3 \vert < 7\). Po opuszczeniu wartości bezwzględnej otrzymujemy \[ -7<2x-3<7 \] \[ \ \qquad -4<2x<10 /:2 \] \[ \ \! -2 <x<5 \]
    Rysunek przedstawiający na wspólnej osi liczbowej zbiory rozwiązań nierówności: x większy niż minus dwa oraz x mniejszy od pięciu.
    Zatem \[ \vert 2x -3 \vert < 7 \quad \Longleftrightarrow\quad x\in(-2,5) \] Ponieważ obie nierówności muszą być spełnione jednocześnie, więc ostateczne rozwiązanie otrzymamy po znalezieniu części wspólnej zbiorów \[ \left[\left(-\infty, -{1\over 2} \right>\cup \left<{7\over 2}, \infty \right)\right] \cap \left( -2, 5 \right) \]
    Rysunek przedstawia na osi liczbowej iloczyn poprzednich dwóch zbiorów.
    Stąd otrzymujemy rozwiązanie nierówności \(4 \leq \vert 2x -3 \vert < 7\) \[ x\in \left(-2, -{1\over 2} \right>\cup \left<{7\over 2}, 5 \right) \]
  11. \(-3 < \vert 2-x \vert \leq 1\)
    Wiemy, że \[ -3 < \vert 2-x \vert \leq 1 \quad \Longleftrightarrow\quad -3 < \vert 2-x \vert\quad \wedge \quad\vert 2-x \vert \leq 1 \] Ponieważ lewa nierówność jest zawsze spełniona, pozostaje do rozwiązania nierówność \[ \qquad\ \vert 2-x \vert \leq 1 \] \[ -1\leq 2-x \leq 1 \] \[ \qquad\qquad\ -3\leq -x \leq -1 /\cdot (-1) \] \[ \quad\: 3 \geq x \geq 1 \]
    Rysunek przedstawiający odpowiedź do zadania.
    Zatem \(x\in \left< 1, 3\right>\).