Powtórka

Ogólnie stosowane oznaczenia zbiorów liczbowych:

$\quad\boldsymbol{\mathbb{N}}$ – zbiór liczb naturalnych; $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots \}$

$\quad\boldsymbol{\mathbb{Z}}$ – zbiór liczb całkowitych; $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$

$\quad\boldsymbol{\mathbb{Q}}$ – zbiór liczb wymiernych; $\mathbb{Q}=\left\{{p\over q}:\ p,q\in\mathbb{Z}\ \wedge \ q\neq 0\right\}$

$\quad\boldsymbol{\mathbb{R}}$ – zbiór liczb rzeczywistych.

$\quad\boldsymbol{\mathbb{IQ}}$ – zbiór liczb niewymiernych; $\mathbb{IQ}=\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$

Podstawowe pojęcia z zakresu rachunku zbiorów:

• Suma zbiorów $A$ i $B$ to zbiór oznaczany symbolem $A\cup B$, gdzie $$A\cup B= \{x:\ x\in A\ \vee\ x\in B\}$$
• Różnica zbiorów $A$ i $B$ to zbiór oznaczany symbolem $A \backslash B$, gdzie $$A \backslash B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\notin B\}$$
• Część wspólna zbiorów $A$ i $B$ to zbiór oznaczany symbolem $A\cap B$, gdzie $$A\cap B= \{x:\ x\in A\ \wedge\ x\in B\}$$
• Dopełnienie zbioru $A$ w przestrzeni $X$ to zbiór oznaczany symbolem $A'$, gdzie $$A' = \{x\in X:\ x\notin A\}=X\backslash A$$
• Iloczyn kartezjański zbiorów $A$ i $B$ to zbiór oznaczany symbolem $A\times B$, gdzie $$A\times B =\{(a,b):\ a\in A\ \wedge\ b\in B\}$$

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $$\vert a \vert = \left\{\eqalign{a \quad &\hbox{dla} \quad a\geq 0 \cr -a \quad &\hbox{dla} \quad a \lt 0 \cr} \right.$$ Własności wartości bezwzględnej dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$:

• $\vert a \vert \geq 0$, przy czym $\ \vert a \vert = 0 \ \Longleftrightarrow \ a=0$
• $\vert -a \vert =\vert a \vert$
• $\vert a \vert =\vert b \vert\ \Longleftrightarrow \ a=b\ { \vee}\ a=-b$
• $\vert a\cdot b \vert =\vert a \vert \cdot \vert b \vert$
• $\vert {a\over b} \vert ={\vert a \vert \over \vert b \vert}$, o ile $\ b\neq 0$
• $\vert a+b \vert \leq \vert a \vert + \vert b \vert$

Równoważny sposób zapisu prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną dla $a\gt 0$:

1. $\vert x \vert =a \quad\Longleftrightarrow \quad x=a\ \vee\ x=-a$
2. $\vert x \vert \lt a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \lt x\lt a$
3. $\vert x \vert \le a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \le x\le a$
4. $\vert x \vert \gt a \quad \Longleftrightarrow \quad x\lt -a\ \vee\ x\gt a$
5. $\vert x \vert \ge a \quad \Longleftrightarrow \quad x\le -a\ \vee\ x\ge a$

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ oraz $a\lt 0$:

• równanie $\vert x \vert =a$ jest sprzeczne,
• nierówność $\vert x \vert \lt a$ jest sprzeczna,
• nierówność $\vert x \vert \gt a$ jest tożsamościowa.

Własności działań na potęgach i pierwiastkach dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y,a,b$, gdzie $a,b\gt 0$, oraz dla liczb naturalnych $m,n$ większych od $1$: Dla parzystej liczby naturalnej $n$ oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi równość $$\root n \of {a^n}=\vert a \vert$$ W szczególności dla $n=2$ mamy $$\sqrt{a^2}=\vert a \vert$$ Dla nieparzystej liczby naturalnej $n$ oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi równość $$\root n \of {a^n}=a$$

Silnia liczby naturalnej $n$ $$n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n$$ oraz że $0!=1$. Dlatego $$(n+1)!=n!\cdot (n+1)$$ Symbol Newtona $${n \choose k}={n!\over k!(n-k)!},$$ gdzie $n,k \in \mathbb{N}$ oraz $k\leq n$.
Własności symbolu Newtona dla $n,k \in \mathbb{N}$ oraz $k\leq n$: Wzór dwumianowy Newtona dla dowolnych $a,b\in \mathbb{R}$ oraz $n\in \mathbb{N}$ $$\eqalign{ (a+b)^n&={n \choose 0}a^nb^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + \ldots + {n \choose n-1}a^1b^{n-1} + {n \choose n}a^0b^n= \cr &=\sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k \cr }$$ Trójkąt Pascala $$\matrix{ n=0& & & & & & & & & 1 & & & & & & & & &(a+b)^0\cr n=1& & & & & & & & 1 & & 1 & & & & & & & &(a+b)^1\cr n=2& & & & & & & 1 & & 2 & & 1 & & & & & & &(a+b)^2\cr n=3& & & & & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & & & & &(a+b)^3\cr n=4& & & & & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & & & & &(a+b)^4\cr n=5& & & & 1 & & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 & & & &(a+b)^5\cr n=6& & & 1 & & 6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 & & 1 & & &(a+b)^6\cr n=7& & 1 & & 7 & & 21 & & 35 & & 35 & & 21 & & 7 & & 1 & &(a+b)^7\cr \cdot\quad\cdot & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & & \cdot\quad\cdot \cr }$$

Wzory skróconego mnożenia:

$\qquad\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad$ (kwadrat sumy)

$\qquad\qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad$ (kwadrat różnicy)

$\qquad\qquad (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \qquad$ (sześcian sumy)

$\qquad\qquad (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \qquad$ (sześcian różnicy)

$\qquad\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b) \qquad$ (różnica kwadratów)

$\qquad\qquad a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right) \qquad$ (różnica sześcianów)

$\qquad\qquad a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right) \qquad$ (suma sześcianów)